АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Ирвин Ялом. Обычно дифференциальное уравнение выражает некоторый физический закон сохранения

Обычно дифференциальное уравнение выражает некоторый физический закон сохранения. Этот закон можно записать в интегральной форме для интервала сетки (уравнение баланса). Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стремлении шага сетки к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение.

Входящие в уравнение баланса на сетке производные и интегралы следует заменить приближенными выражениями на сетке. Такой метод называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса.

Применим этот метод для построения разностной схемы следующей краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:

(10.1)

(10.2)

где - заданные, достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

.

Для построения разностной схемы введем на отрезке [0,1] равномерную сетку с шагом h:

Обозначим , , . Проинтегрируем уравнение (10.1) на отрезке , тогда получим уравнение

(10.3)

Это уравнение представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке .

Чтобы получить из (10.3) трехточечное разностное уравнение, заменим и интегралы в уравнении (10.3) линейной комбинацией значений подынтегральных функций в узлах сетки , например

,

Проинтегрируем равенства по x от x_{i- 1} до x_i

,

В результате получаем из (10.3) схему

(10.4)

При выводе мы фактически предполагали лишь, что при , при .

Напишем разностную аппроксимацию для краевого условия третьего рода

Для этого воспользуемся уравнением баланса при , где

Подставим сюда , , , .

Заменим всюду u на y, получим разностное краевое условие

Перепишем его в следующем виде

, (10.5)

где ,

Оценим на решении u = u(x) уравнения (10.1) величину невязки

.

Подставим ,

,

получим

,

т.е. разностное краевое условие третьего рода (10.5) аппроксимирует условие при x = 0 с погрешностью второго порядка .

Объединяя уравнения (10.4) и (10.5) получим следующую разностную схему для задачи (10.1)-(10.2):

, (10.6)

Систему (10.6) можно записать в виде

,

,

где A_i = a_i, B_i = a_i+1, C_i = a_i+1 + a_i + h²d_i, F_i = h²j_I,

,

Данная система решается методом прогонки.

Ирвин Ялом.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 445 | Нарушение авторских прав