АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Сходящиеся последовательности

Опр.: Число а называется пределом последовательности { х_n }, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что для всех n > N выполняется условие ê х_n – а ê < e.

Обозначается предел: , или при ;

.

Термин «предел» (от латинского limes – межа, граница) ввёл английский учёный Исаак Ньютон (1643-1727), а символ lim ввёл в 1786г. швейцарский математик Симон Люилье (1750-1840).

Геометрический смысл предела последовательности заключается в следующем: для любого положительного числа e все члены последовательности, начиная с некоторого номера, большего N, будут лежать в промежутке (а - e; а + e), или, другими словами: вне любого промежутка (а - e; а + e) может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Опр.: Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Теорема. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Пример: Последовательность { х_n } = имеет предел, равный нулю, т.к. .

Так, при e = 0.5 в e-окрестность точки 0 попадут все члены, кроме первых двух; при e = 0.1 в e-окрестность точки 0 попадут все члены, кроме первых десяти; при e = 0.01 - все члены, кроме первых ста и т.д. (рис. 3).

Свойства сходящихся последовательностей:

1) Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

3) Сумма или разность двух сходящихся последовательностей { х_n } и { y_n }является сходящейся последовательностью { х_n ± y_n }, предел которой равен сумме или разности пределов последовательностей { х_n } и { y_n }:

.

4) Произведение сходящихся последовательностей { х_n } и { y_n }является сходящейся последовательностью { х_n y_n }, предел которой равен произведению пределов последовательностей { х_n } и { y_n }:

.

5) Частное двух сходящихся последовательностей { х_n } и { y_n }, при условии, что ,является сходящейся последовательностью , предел которой равен частному пределов последовательностей { х_n } и { y_n }:

.

6) Постоянную величину можно выносить за знак предела:

.

7) Если даны последовательности { х_n }, { y_n }, { z_n }, причём n N и последовательности { х_n }, { z_n } имеют один и тот же предел а, тогда последовательность { y_n } также имеет предел а.

Опр.: Последовательность { х_n } называется бесконечно малой, если .

Опр.: Последовательность { х_n } называется бесконечно большой, если .

Замечание: Если последовательность { х_n } является бесконечно малой, то последовательность {1/ х_n } является бесконечно большой. И обратно, если последовательность { y_n } является бесконечно большой, то последовательность {1/ y_n }является бесконечно малой.

Примеры: 1) Последовательность { х_n } = является бесконечно малой, т.к. . Последовательность {1/ х_n } = - бесконечно большая; .

2) Последовательность { y_n } = - бесконечно большая, т.к. . Последовательность {1/ y_n } = - бесконечно малая;

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение множества, подмножества. Приведите примеры. Что называется пустым множеством?

2. Перечислите операции над множествами, охарактеризуйте каждую из них. Перечислите свойства операций над множествами.

3. Какие множества относятся к числовым множествам? Охарактеризуйте каждое из них. Приведите примеры.

4. Дайте определение числовой последовательности. Приведите примеры. Как она может изображаться геометрически?

5. Дайте определения ограниченной и неограниченной последовательности. Приведите примеры.

6. Перечислите все монотонные последовательности и охарактеризуйте каждую из них. Приведите примеры.

7. Дайте определение предела последовательности и раскройте его геометрический смысл. Перечислите свойства сходящихся последовательностей.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 453 | Нарушение авторских прав