АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Свойства преобразования Фурье

Приведем основные свойства преобразования Фурье, существенные для спектрального анализа.

Преобразование Фурье обладает свойством линейности

F { cY (t)}= cF { Y (t)}, (6.14)

F { Y (t)+ Z (t)}= F { Y (t)}+ F { Z (t)}, (6.15)

т. е. изменение масштаба и аддитивность во временной области эквивалентны тем же операциям в частотной области (здесь c – константа, Y (t), Z (t) –функции).

Произведение же функций во временной области неэквивалентно произведению их спектров.

Если во временной области имеется произведение двух функций, т. е.

Y (t)= Z (t) H (t), (6.16)

причем известны спектры сомножителей S_Z (ω) =F { Z (t)}, S_H (ω) = F { H (t)}, то в частотной области спектр произведения S_Y (ω) = F { Z (t) H (t)}равен свертке спектров (теорема о свертке)

. (6.17)

Если имеется произведение в частотной области

S_Y(ω)= S_Z (ω) S_H (ω), (6.18)

то во временной области ему соответствует свертка

. (6.19)

Иными словами, свертка в частотной области эквивалентна перемножению во временной области и, наоборот, свертка сигналов во временной области эквивалентна перемножению их спектров в частотной.

Операции дифференцирования и интегрирования во временной области эквивалентны алгебраическим операциям в частотной области

, (6.20)

. (6.21)

Запаздыванию во временной области соответствует умножение на гармонику в частотной области, и, наоборот, умножению на гармонику во временной области соответствует сдвиг частоты

, (6.22)

. (6.23)

Еще одно важное свойство преобразования Фурье дается теоремой Парсеваля

, (6.24)

т. е. среднеквадратическое значение функции Y (t), или средняя мощность, может быть разложено на составляющие, даваемые каждой элементарной гармоникой.

В заключение приведем сводку основных свойств преобразования Фурье.

Функция	Преобразование Фурье	Функция	Преобразование Фурье
Y (t)	S (ω)	Y (t-t0)	S (ω) ·exp(-i ω t0)
Z (t)	SZ (ω)	Y (t) ·exp(i ω0 t)	S (ω- ω0)
cY (t)	c S (ω)		i ω S (ω)
Y (t)+ Z (t)	S (ω)+ SZ (ω)
Y (t)· Z (t)
	S (ω) · SZ (ω)

Дата добавления: 2015-10-11 | Просмотры: 380 | Нарушение авторских прав