АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Формулы Байеса

Решим задачу. Идет охота на медведя. В охоте участвуют 3 охотника. Вероятность выхода медведя на 1-го охотника равна 0,5, на 2-го охотника - 0,3, на 3-го охотника – 0,2. Вероятность убийства медведя 1-ым охотником, если он на него вышел - 0,9, 2-ым охотником - 0,8, 3-им охотником – 0,7. Какова вероятность убийства медведя?

Решение. Рассмотрим событие A={убийство медведя}. Выделим гипотезы:

Н₁={волк вышел на I охотника}, Р(Н₁)=0,5, Р(А│Н₁)=0,9,

Н₂={волк вышел на II охотника}, Р(Н₂)=0,3, Р(А│Н₂)=0,8,

Н₃={волк вышел на III охотника}, Р(Н₃)=0,2, Р(А│Н₃)=0,7.

Тогда по формуле полной вероятности, Р(А)=Р(Н₁)·Р(А│Н₁)+Р(Н₂)·Р(А│Н₂)+Р(Н₃)·Р(А│Н₃)=0,5·0,9+0,3·0,8+0,2·0,7=0,45+0,24+0,14=0,83.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть за поимку медведя назначена премия $1000. Охотник, убивший медведя, принес его в заготовительную контору, а приемщика не оказалось. Когда пришел приемщик, перед ним возник вопрос: кто из трех охотников вероятнее всего убил медведя, кому нужно выдать премию?

У приемщика возникают гипотезы Н₁, Н₂, Н₃, рассмотренные в предыдущей задаче, и необходимо оценить вероятность каждой из них по свершившемуся событию А={убийство волка}.

Если произведен эксперимент, в результате которого произошло некоторое событие А, то требуется пересчитать вероятности гипотез в связи с появлением этого события, то есть вычислить условную вероятность Р(Н_i|А) для каждой гипотезы, применяют формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть событие А наступает одновременно с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃,…, Н_n, составляющих полную группу событий.

Тогда, Р(Н₁|А)=

Р(Н₂|А)=

…

Р(Н_n|А)=

Доказательство. По теореме умножения вероятностей имеем Р(А·Н₁)=Р(А)·Р(Н₁|А).

Выразим отсюда Р(Н₁|А)= . Распишем по теореме умножения числитель дроби: Р(Н₁|А)= = . Применим формулу полной вероятности для знаменателя дроби: Р(Н₁|А)= =

Формулы для вычисления условных вероятностей Р(Н₂|А), …, Р(Н_n|А) доказываются аналогично.

Пример. Идет охота на медведя. В охоте участвуют 3 охотника. Вероятность выхода медведя на 1-го охотника равна 0,5, на 2-го охотника - 0,3, на 3-го охотника – 0,2. Вероятность убийства медведя 1-ым охотником, если он на него вышел, - 0,9, 2-ым охотником – 0,8, 3-им охотником – 0,7. За поимку медведя назначена премия $1000. Охотник, убивший медведя, принес его в заготовительную контору, а приемщика не оказалось. Когда пришел приемщик перед ним возник вопрос: кто из трех охотников вероятнее всего убил медведя, кому нужно выдать премию?

Решение. Рассмотрим событие A={убийство медведя}. Выделим гипотезы:

Н₁={волк вышел на I охотника}, Р(Н₁)=0,5, Р(А│Н₁)=0,9;

Н₂={волк вышел на I охотника}, Р(Н₂)=0,3, Р(А│Н₂)=0,8;

Н₃={волк вышел на I охотника}, Р(Н₃)=0,2, Р(А│Н₃)=0,7.

Оценим вероятность каждой из гипотез при условии, что произошло событие А, используя формулы Байеса.

Р(Н₁|А) = = = 0,5422

Р(Н₂|А) = = = 0,2892

Р(Н₃|А) = = = 0,1686

Вероятнее всего медведя убил 1-ый охотник. Премию необходимо распределить следующим образом: $542,2 отдать 1-му охотнику, $289 2-ому охотнику, $168,9 – 3-му охотнику.

Контрольные вопросы:

1. В каком случае события образуют полную группу событий? Приведите примеры.

2. Сформулируйте и обоснуйте теорему о формуле полной вероятности. Приведите примеры ее использования.

3. Сформулируйте и обоснуйте теорему о формулах Байеса. Приведите примеры ее использования.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 522 | Нарушение авторских прав