АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Формула полной вероятности

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 7.6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

План:

1. Формулы полной вероятности

2. Формулы Байеса

Формула полной вероятности

Определение. События Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, то есть Н_i∙H_j=Ø, где i j и Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)+…+Р(Н_n)=1.

Иногда такие события называют гипотезами.

Пример. Три охотника находятся в разных точках леса и охотятся на волка. Образуют ли события

Н₁={волк вышел на 1-го охотника}, Р(Н₁)=0,5,

Н₂={волк вышел на 2-го охотника}, Р(Н₂)=0,25,

Н₃={волк вышел на 3-го охотника}, Р(Н₃)=0,25

полную группу событий?

Решение. События Н₁, Н₂, Н₃ попарно несовместны, так как охотники рассредоточены в разных точках леса, поэтому выйдя на одного охотника, волк не может попасть к любому другому охотнику. Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)=0,5+0,25+0,25=1. Условия полной группы событий выполнены, а значит по определению события Н₁, Н₂, Н₃ являются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, образующих полную группу событий, равна сумме произведений этих гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(Н₁)·Р(А│Н₁)+Р(Н₂)·Р(А│Н₂)+Р(Н₃)·Р(А│Н₃)+…+Р(Н_n)·Р(А│Н_n)

Доказательство. По условию событие А наступает, когда происходит одно из событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n. Это равносильно тому, что А произойдет тогда, когда наступит одно из событий Н₁·А, Н₂·А, Н₃·А, …, Н_n·А, то есть А=Н₁·А+Н₂·А+Н₃·А+…+Н_n·А. Так как гипотезы Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n несовместны, то события Н₁·А, Н₂·А, Н₃·А, …, Н_n·А тоже несовместны. Значит Р(А)=Р(Н₁·А+Н₂·А+Н₃·А+…+Н_n·А)=Р(Н₁·А)+Р(Н₂·А)+Р(Н₃·А)+…+

+Р(Н_n·А). Применим теорему умножения. Р(А)=Р(Н₁·А)+Р(Н₂·А)+Р(Н₃·А)+…+Р(Н_n·А)=Р(Н₁)·Р(А│Н₁)+Р(Н₂)·

Р(А│Н₂)+Р(Н₃)·Р(А│Н₃)+…+Р(Н_n)·Р(А│Н_n).

Пример. Имеется 3 одинаковых на вид урны: в I урне - 2 белых и 1 черный шар, во II урне – 3 белых и 1 черный, в III – 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что шар – белый.

Решение. Отразим условие задачи на схеме:

I урна II урна III урна

3 шара 4 шара 4 шара

2 белых 1 черный 3 белых 1 черный 2 белых 2 черных

Рассмотрим событие А={вынутый шар - белый}.

Поскольку шар вынимается из наудачу выбранной урны, то введем гипотезы:

Н₁={шар вынут из I урны}, Р(Н₁)= ,

Н₂={шар вынут из II урны}, Р(Н₂)= ,

Н₃={шар вынут из III урны}, Р(Н₃)= .

Действительно, события Н₁, Н₂, Н₃ попарно несовместны и Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)= + + =1, то есть образуют полную группу событий. Вычислим условные вероятности события А. Р(А│Н₁)= , Р(А│Н₂)= , Р(А│Н₂)= . Тогда по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)·Р(А│Н₁)+Р(Н₂)·Р(А│Н₂)+Р(Н₃)·Р(А│Н₃)= · + · + · = .

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 393 | Нарушение авторских прав