Формула полной вероятности
Методические указания к проведению лекционного занятия
Тема № 7.6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
План:
1. Формулы полной вероятности
2. Формулы Байеса
Формула полной вероятности
Определение. События Н1, Н2, Н3, …, Нn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, то есть Нi∙Hj=Ø, где i j и Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)+…+Р(Нn)=1.
Иногда такие события называют гипотезами.
Пример. Три охотника находятся в разных точках леса и охотятся на волка. Образуют ли события
Н1={волк вышел на 1-го охотника}, Р(Н1)=0,5,
Н2={волк вышел на 2-го охотника}, Р(Н2)=0,25,
Н3={волк вышел на 3-го охотника}, Р(Н3)=0,25
полную группу событий?
Решение. События Н1, Н2, Н3 попарно несовместны, так как охотники рассредоточены в разных точках леса, поэтому выйдя на одного охотника, волк не может попасть к любому другому охотнику. Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)=0,5+0,25+0,25=1. Условия полной группы событий выполнены, а значит по определению события Н1, Н2, Н3 являются гипотезами.
Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений этих гипотез на соответствующую условную вероятность события А.
Р(А)=Р(Н1)·Р(А│Н1)+Р(Н2)·Р(А│Н2)+Р(Н3)·Р(А│Н3)+…+Р(Нn)·Р(А│Нn)
Доказательство. По условию событие А наступает, когда происходит одно из событий Н1, Н2, Н3, …, Нn. Это равносильно тому, что А произойдет тогда, когда наступит одно из событий Н1·А, Н2·А, Н3·А, …, Нn·А, то есть А=Н1·А+Н2·А+Н3·А+…+Нn·А. Так как гипотезы Н1, Н2, Н3, …, Нn несовместны, то события Н1·А, Н2·А, Н3·А, …, Нn·А тоже несовместны. Значит Р(А)=Р(Н1·А+Н2·А+Н3·А+…+Нn·А)=Р(Н1·А)+Р(Н2·А)+Р(Н3·А)+…+
+Р(Нn·А). Применим теорему умножения. Р(А)=Р(Н1·А)+Р(Н2·А)+Р(Н3·А)+…+Р(Нn·А)=Р(Н1)·Р(А│Н1)+Р(Н2)·
Р(А│Н2)+Р(Н3)·Р(А│Н3)+…+Р(Нn)·Р(А│Нn).
Пример. Имеется 3 одинаковых на вид урны: в I урне - 2 белых и 1 черный шар, во II урне – 3 белых и 1 черный, в III – 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что шар – белый.
Решение. Отразим условие задачи на схеме:
I урна II урна III урна
3 шара 4 шара 4 шара
2 белых 1 черный 3 белых 1 черный 2 белых 2 черных
Рассмотрим событие А={вынутый шар - белый}.
Поскольку шар вынимается из наудачу выбранной урны, то введем гипотезы:
Н1={шар вынут из I урны}, Р(Н1)= ,
Н2={шар вынут из II урны}, Р(Н2)= ,
Н3={шар вынут из III урны}, Р(Н3)= .
Действительно, события Н1, Н2, Н3 попарно несовместны и Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)= + + =1, то есть образуют полную группу событий. Вычислим условные вероятности события А. Р(А│Н1)= , Р(А│Н2)= , Р(А│Н2)= . Тогда по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(Н1)·Р(А│Н1)+Р(Н2)·Р(А│Н2)+Р(Н3)·Р(А│Н3)= · + · + · = .
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 428 | Нарушение авторских прав
|