Билет 9. 1) Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.

Движениемаятника, не имеющего затуханий, можно приближённо рассматривать как простое гармоническое движение, если амплитуда колебаний очень мала в сравнении с длиной стержня.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g, поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускоренияпропорционально синусу координаты:

где

I — момент инерции; в данном случае I = m ℓ ².

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Затухающий осциллятор[править | править вики-текст]

Основная статья: Затухающие колебания

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

· При малом трении () общее решение записывается в виде:

, где — частота свободных колебаний.

· Затухание называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

· При сильном же трении решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

2)
В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз. Отсюда вытекает условие

где l - длина струны. Этим длинам волны соответствуют частоты

где v - фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины. Частоты n _n называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте , которая называется основной частотой. Гармонические колебания с частотами n _n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

3) В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса). Ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета будем выберать так, чтобы ось х была направлена в сторону в направления переноса.

1. Теплопроводность. Если в первой области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем во второй, то вследствие постоянных столкновений молекул с течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

(1)

где j_E — плотность теплового потока — величина, которая определяется энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что во время теплопроводности энергия перемещается в направлении убывания температуры (поэтому знаки j_E и – противоположны). Теплопроводность λ равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

Можно показать, что

(2)

где с_V — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), ρ — плотность газа, < ν > — средняя скорость теплового движения молекул, < l > — средняя длина свободного пробега.

4) торое начало термодинамики вводит в рассмотрение новую функ­цию состояния — энтропию. Термин «энтропия», предложенный Р. Клаузиусом, образован от греч. entropia и означает «превращение».

Уместно будет привести понятие «энтропия» в формулировке А. Зоммерфельда: «Каждая термодинамическая система обладает функцией состояния, называемой энтропией. Энтропия вычисляется следующим образом. Система переводится из произвольно выбранного начального состояния в соответствующее конечное состояние через последова­тельность состояний равновесия; вычисляются все проводимые при этом к системе порции тепла dQ, делятся каждая па соответствующую ей абсолютную температуру Г, и все полученные таким образом значения суммируются (первая часть второго начала термодинамики). При реальных (неидеальных) процессах энтропия изолированной системы возрастает (вторая часть второго начала термодинамики)».

Учета и сохранения количества энергии еще недостаточно для того, чтобы судить о возможности того или иного процесса. Энергию следует характеризовать не только количеством, но и качеством. При этом существенно, что энергия определенного качества самопроизвольно может превращаться только в энергию более низкого качества. Величиной, определяющей качество энергии, и является энтропия.

Процессы в живой и неживой материи в целом протекают так, что энтропия в замкнутых изолированных системах возрастает, а качество энергии понижается. В этом и есть смысл второго начала термодинамики.

Если обозначить энтропию через S, то

dS = ,

dU=TdS- dU.

Эта формула известна в литературе как соотношение Гиббса. Это фундаментальное уравнение объединяет первое и второе начала термодинамики и определяет, но существу, всю равновесную термодинамику.

Второе начало устанавливает определенное направление течения процессов в природе, то есть «стрелу времени».

Наиболее глубоко смысл энтропии вскрывается при статической оценке энтропии. В соответствии с принципом Больцманаэнтропия связана с вероятностью состояния системы известным соотношением

S = K LnW

ΔW- W₂- W₁ ≥ 0

Билет 10

1) Плотностью потока энергии называется векторная физическая величина, характеризующая перенос энергии в пространстве и численно равная энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны

,. (4)

D W = w D V = w D S D l , (5)

где w, - объемная плотность потока энергии

2) ложение синхронных скалярных колебаний. Колебания векторных величин называются векторными, а скалярных величин - скалярными.

Примеры. Векторные колебания: колебания радиус-вектора частицы, напряженности электрического и магнитного полей ( r, E, H ); скалярные колебания: колебания давления, температуры (Р, T).

При сложении векторных колебаний нужно учитывать их направления, в то время как скалярные колебания складываются алгебраически. Рассмотрим сложение скалярных колебаний или векторных колебаний, направленных вдоль одной прямой.

Пусть мы имеем два синхронных скалярных колебания, описываемых законами:

x₁ = A₁·cos(w ·t + f₁);
x₂ = A₂·cos(w ·t + f₂).

Задача - найти результирующее колебание х = x₁ + x₂. Решение этой задачи значительно упрощается, если воспользоваться методом векторных диаграмм. Изобразим скалярные величины x₁ и x₂ в момент t = 0 в виде проекций векторов r ₁ и r ₂, вращающихся вокруг точки O с угловой скоростью w (см. рис. 9.6).

Поскольку сумма проекций векторов r ₁ и r ₂, имеющих амплитуды A₁ и A₂, на ось X равна проекции на эту же ось результирующего вектора r = r ₁ + r ₂, то для получения искомого результата сначала по правилу сложения векторов (см. рис. 9.6) найдем вектор r, а затем вычислим его проекцию.

Поскольку колебания синхронные, то взаимная ориентация векторов r ₁ и r ₂с течением времени не изменится. Вектор r будет вращаться вокруг точки Oсо скоростью w и результирующее колебание будет гармоническим. В произвольный момент времени:

x = A·cos (w ·t + f).

Проекция x задается значениями амплитуды A и угла f:

A² = A₁² + A₂² + 2A₁·A₂·cos(Df); (9.4)
tg f = (A₁·sin f₁ + A₂·sin f₂)/(A₁·cos f₁ + A₂·cos f₂); (9.5)
x₀ = A·cos f.

Из уравнений (9.4) и (9.5) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит не только от соотношения амплитуд исходных колебаний, но и от сдвига фаз между ними Df = f₂ - f₁.

3) В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса). Ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета будем выберать так, чтобы ось х была направлена в сторону в направления переноса.

Внутреннее трение (вязкость). Суть механизма возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), которые движущутся с различными скоростями, есть в том, что из-за хаотического теплового движения осуществляется обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, который движется быстрее, уменьшается, который движется медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, который движется быстрее, и ускорению слоя, который движется медленнее.

Как известно, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

(5)

где η — динамическая вязкость (вязкость), d ν /dx — градиент скорости, который показывает быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.

Согласно второму закону Ньютона взаимодействие двух слоев можно рассматривать как процесс, при котором в единицу времени от одного слоя к другому передается импульс, который по модулю равен действующей силе. Тогда выражение (5) можно записать в виде

(6)

где j_p — плотность потока импульса — величина, которая определяется определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, d ν /dx — градиент скорости. Знак минус говорит о том, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j_p и d ν /dx противоположны).

Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле

(7)

Из сопосавления формул (1), (3) и (6), которые описывают явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были известны еще задолго до того, как они были обоснованы и получены из молекулярно-кинетической теории, которая позволила установить, что внешнее сходство их математических выражений является следствием общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетической сути коэффициентов λ, D и η. Выражения для коэффициентов переноса получаются из кинетической теории. Они записаны без вывода, поскольку строгое и формальное рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (2), (4) и (7) дают связь коэффициентов переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул следуют простые зависимости между λ, D и η:

и

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам найти другие.

4)

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 276 | Нарушение авторских прав