АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Условие типового расчета

Прочитайте:
  1. Жизненно важным условием успешности терапии является
  2. Калькуляция затрат труда и машинного времени по возведению монолитных конструкций типового этажа
  3. Карта расчета площади и тяжести поражения кожи
  4. Криоскопический способ расчета
  5. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 10 ДНЕЙ
  6. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 12 МЕСЯЦЕВ
  7. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 12 МЕСЯЦЕВ
  8. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 180 ДНЕЙ
  9. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 180 ДНЕЙ
  10. ЛЕЧЕНИЕ ИЗ РАСЧЕТА 3-х ДНЕЙ

Пример выполнения типового расчета

По условию имеем следующие координаты вершин пирамиды: ­ А 1 (9; 4; 4),­ ­ А 2 (1; 5; 2),­ ­ А 3 (7; 2; 5),­ ­ А 4 (0; –1; –3).
Задача 1. Чтобы найти нормаль к плоскости A 1 А 2 А 3, найдем сначала векторное произведение векторов и .
= (–8; 1; –2); ­ ­ ­ = (–2; –2; 1);

(1)

За нормаль можно взять любой вектор, коллинеарный вектору (1). Для упрощения дальнейших расчетов поделим координаты вектора (1) на общий множитель 3, получим коллинеарный вектор, его и примем за вектор .

= (–1; 4; 6) (2)

Аналогично находим нормаль n 2 к плоскости A 2 A 3 А 4:
= (6; –3; 3); ­ ­ ­ ­ ­ = (–1; –6; –5);

= (11; 9; –13).
Найдем косинус угла между плоскостями:

Знак "минус" показывает, что мы нашли косинус тупого угла между плоскостями. Косинус дополнительного ему острого угла равен cos (π – α) = – cos α = 0,378. В ответе договоримся писать положительное значение косинуса, т.е. косинус острого угла.
Ответ: 0,378.

Задача 2. Найдем координаты вектора = , который является направляющим вектором прямой A 1 А 4: = (–9; –5; –7). Синус угла β между ребром A 1 А 4 и плоскостью равен:

Ответ: 0,585.

Задача 3. Для нахождения площади грани A 1 A 2 А 3 воспользуемся свойствами векторного произведения векторов и , найденного в задаче 1 (см. формулу (1)):
.
Тогда по формуле (5)
.
Ответ: 10,92

Задача 4. Объём пирамиды A 1 A 2 А 3 А 4 равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов , и . Координаты первых двух векторов и их векторного произведения уже вычислены – (см. формулу (1.1)), найдем = (–9; –5; –7). Вычислим смешанное произведение:

Тогда искомый объем равен:
Ответ: 26,5.

Задача 5. Вычислим длину h высоты пирамиды тремя разными способами (см. рис. 1)


Рис. 1

1) Из прямоугольного треугольника A 1 А 4 B найдем катет A 1 B, зная гипотенузу A 1 А 4 и острый угол β (см. рис. 1):


Заметим, что округление результата следует производить только на заключительном этапе, промежуточные выкладки необходимо выполнять с точными значениями переменных.

2) Используем объем пирамиды и площадь грани.
Имеем:
,
откуда
.

3) Вычислим h как расстояние от точки A 4 до плоскости A 1 А 2 А 3. Уравнение этой плоскости найдем по формуле

A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0, (3)

где M 0(x 0, y 0, z 0) - координаты произвольной точки на плоскости, = (A, B, C) – нормальный вектор к плоскости. Нормальный вектор получен в задаче 1, (формула (2)); в качестве точки M 0 возьмем, например, точку A 1:­ ­ –1(x – 9) + (y – 4) + 6(z – 4) = 0.
Или после упрощения:

– x + 4 y + 6 z – 31 = 0 (4)

Расстояние h от точки (x 0, y 0, z 0) до плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz +D = 0, вычисляется по формуле:
.
В нашем случае имеем:
.
Поскольку результаты всех трех способов совпали, делаем вывод о правильности наших вычислений.
Ответ: 7,28.

Задача 6. Точка A 5, симметричная точке A 4 относительно плоскости A 1 A 2 A 3, определяется следующим образом (рис. 1): прямая A 4 A 5 перпендикулярна плоскости A 1 A 2 A 3 и = 2 , где B - точка пересечения вышеуказанной прямой и плоскости.
Напишем параметрическое уравнение прямой A 4 A 5 по формуле:

где (x 0, y 0, z 0) произвольная точка прямой, = (p, q, r) – направляющий вектор прямой.
Воспользуемся тем фактом, что нормальный вектор плоскости = (–1; 4; 6) (см. задачу 1), является направляющим вектором искомой прямой:

x = 0 – t; ­ ­ ­ ­­ y = –1 + 4 t; ­ ­ ­ ­ ­ z = –3 + 6 t. (5)

Найдем координаты точки B (xb, yb, zb). Для этого подставим (x, y, z) из формулы (5) в уравнение плоскости (4):
– (– t) + 4(–1 + 4 t) + 6(–3 + 6 t) – 31 = 0; ­ ­ ­ ­­ 53 t = 53; ­ ­­ ­­ t = 1.
Следовательно,
xb = 0 – 1 = –1; ­ ­ ­ ­­ yb = –1 + 4 · 1 = 3; ­ ­ ­ ­­ zb = –3 + 6 · 1 = 3.
Тогда = (–1; 4; 6) и = 2 = (–2; 8; 12). Зная координаты вектора и координаты его начала ­ A 4, легко найти координаты конца ­­ A 5 (x 5, y 5, z 5):
x 5 = 0 – 2 = – 2; ­ ­ ­ ­­ y 5 = – 1 + 8 = 7; ­ ­ ­ ­­ z 5 = – 3 + 12 = 9.
Для контроля полученного результата вновь вычислим высоту пирамиды h как половину отрезка A 4 A 5 (рис. 1):
= (–2; 8; 12);­ ­ ­ ­­
Совпадение с предыдущими расчетами говорит о правильности нахождения координат точки A 5.
Ответ: (–2; 7; 9).

Задача 7. Точка A 6, симметричная точке A 4 относительно прямой A 2 A 3, определяется следующим образом: прямая A 4 A 6 перпендикулярна прямой A 2 A 3 и пересекает ее и , где C - точка пересечения этих прямых (см. рис. 2). Заметим, что прямая A 4 A 6 с нужными нам свойствами принадлежит плоскости π, проходящей через точку A 4 перпендикулярно прямой A 2 A 3, так как плоскость π содержит все прямые, проходящие через точку A 4 перпендикулярно A 2 A 3. Нормальным вектором к плоскости π можно считать вектор :
= = (6; –3; 3) = 3(2; –1; 1).


Рис. 2


Напишем уравнение плоскости π, используя формулу (3):

2(x – 0) – 1(y + 1) + 1(z + 3). (6)

Напишем параметрические уравнения прямой A 2 A 3, зная ее направляющий вектор (2; –1; 1)

x = 1 + 2 t; ­ ­ ­ ­ ­ y = 5 – t; ­ ­ ­ ­ ­ z = 2 + t. (7)

Найдем координаты точки C (xc, yc, zc), подставляя выражения (7) в формулу (6):
2(1 + 2 t) – (5 – t) + (2 + t) + 2 = 0, ­ ­ ­ ­ ­ 6 t + 1 = 0, ­ ­ ­ ­ ­ .
Следовательно, ­ ­ ­ ­­ .
Тогда ­ ­ ­ и ­ ­ ­ .
Окончательно находим координаты точки A 6(x 6, y 6, z 6):
­ ­ ­ ­ ­ ­­
Ответ: (1,33; ­ 11,33; ­ 6,67)

Задача 8. Вычислим расстояние L между точкой А 4 и прямой А 2 А 3 двумя способами:
1) L | = 7,86.
2) Расстояние L от точки M 1(x 1, y 1, z 1) до прямой, заданной уравнением
, где M 0(x 0, y 0, z 0) – произвольная точка прямой, = (p, q, r) – направляющий вектор прямой, вычисляется по формуле:
.
В этой формуле положим M 1 = А 4, M 0 = А 2, = , тогда
= (–1; –6; –5); = (6; –3; 3);
[ , ] = = –33 i – 27 j + 39 k;
| , | = 57,78;
| | = 7,35; L = 7,86.
Совпадение результатов расчета двумя способами свидетельствует о правильности нахождения координат точки A 6.
Ответ: 7.86.

Задача 9. Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

(8)

где M 1 и M 2 произвольные точки первой и второй прямой, и – их направляющие вектора. Для вычисления расстояния между ребрами A 1 A 3 и A 2 A 4 воспользуемся формулой (8), в которой положим
M 1 = A 1; M 2 = A 2; = ; = ;
= (–2; –2; 1); = (–1; –6; –5);
;
; | , , | = 159 (см. задачу 4).
Окончательно получаем:
Ответ: 7,28.

Задача 10. Центр описанного около пирамиды шара является точкой, равноудаленной от его вершин A 1, A 2, A 3, A 4. Обозначим координаты этой точки O (x, y, z). Имеем

или

Раскроем скобки, приведем подобные члены и получим систему линейных уравнений:

Решим эту систему по формулам Крамера:
= – 106; = – 621;
= – 219; = 175.

Радиус описанной сферы вычислим как расстояние от его центра до вершины, например, вершины A 1:

Ответ: (5,86; 2,07; –1,65), R = 6,75.

 

Дата добавления: 2015-09-18 | Просмотры: 296 | Нарушение авторских прав

При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.006 сек.)