АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Банківське нарощування і дисконтування (за обліковою ставкою)

Переважно облікова ставка використовується при здійсненні операції “облік векселів”. Зміст операції банківського обліку (банківського дисконтування) полягає у наступному: банк до настання строку платежу за векселем або іншим зобов’язанням купує його у власника за ціною меньшою ніж сума, яка повинна бути сплачена за ним у кінці строку, тобто обліковує його з дисконтом. Банк отримує прибуток у вигляді дисконту, а власник векселя – гроші раніше строку. У цьому випадку виникає необхідність визначення суми, яку необхідно проставити у векселі, якщо відомі теперішня сума боргу, його строк та облікова ставка. У разі використання облікової ставки відсотки за користування позикою нараховуються на суму, що підлягає сплаті наприкінці строку позики, тобто на кінцеву (майбутню) вартість.

Якщо облікова ставка d, то за визначенням вона дорівнює

При розрахунку теперішньої вартості за простою обліковою ставкою використовують формулу

Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюють за формулою

.

Формула для визначення майбутньої вартості за простою обліковою ставкою наступна:

Нарощування за складною обліковою ставкою виконують за формулою

Аналогічно до математичного нарощування і дисконтування:

та - множники нарощування відповідно за простою та складною обліковою ставкою;

та – множники дисконтування відповідно за простою та складною обліковою ставкою.

Розглянуті два методи дисконтування (математичне і банківське) призводять до різних результатів, навіть у випадку, коли і = d. Облікова ставка враховує фактор часу більш строго, і при відносно великому терміні векселя зарахування може привести до нульової або від’ємної суми, що не має сенсу. Вплив фактору часу посилюється при збільшенні величини ставки. Дана ситуація не виникає при математичному дисконтуванні: при будь- якому терміні часу величина платежу в даному випадку більша за нуль.

У сучасних умовах відсотки переважно капіталізуються не один, а декілька разів на рік – за півріччями, кварталами та ін. Можна використовувати формулу . Але на практиці частіше користуються іншим методом розрахунку, оскільки в угодах фіксується річна ставка із зазначенням періоду нарахування, а не ставка за період.

Позначимо j – річна відсоткова ставка, а кількість періодів нарахування за рік дорівнює m. Тоді кожний раз відсотки нараховуються за ставкою . Ставка j називається номінальною відсотковою ставкою.

Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюють за формулою

,

де N – кількість періодів нарахування;

j - номінальна річна ставка (десятковий дріб).

Якщо N- ціле, тобто N = mn, тоді при визначенні значення множника нарощування у більшості випадків є можливість користуватися таблицею складних відсотків.

Ефективна ставка (дійсна) – це ставка відсотків, яка вимірює той реальний відносний доход, який можна отримати за рік. Іншими словами, ефективна ставка показує, яка річна ставка відсотків дає той самий фінансовий результат, що і m – разове нарощування в рік за ставкою . У подальших розрахунках позначатимемо ефективну ставку через і.

При зміні умов угоди (заміна відсоткової ставки обліковою, простої ставки – складною та ін.) виникає необхідність оцінити, чи варто погоджуватися на запропоновані зміни. Для вкладника не має принципового значення, за якою ставкою банк буде нараховувати відсотки. Для нього головним є те, щоб результат фінансової операції залишився незмінним.

Еквівалентні відсоткові ставки – це такі відсоткові ставки, які за однакових початкових умов дають однаковий кінцевий результат.

Еквівалентність ставок виводиться з рівняння відповідних множників нарощення.

Еквівалентність складної та простої відсоткових ставок:

;

Еквівалентність простих відсоткової та облікової ставок:

Еквівалентність номінальної та ефективної ставок:

.

Контракти, угоди, комерційні операції у більшості випадків передбачають не окремі разові платежі, а безліч розподілених у часі сплат та надходжень. Наприклад, погашення кредиту, грошові показники інвестиційного процесу, страхові внески і т.д., завжди можна представити у вигляді послідовності (ряду) сплат та надходжень. У фінансовій математиці окремі елементи такого ряду, а іноді і весь ряд платежів у цілому називається потоком платежів (cash flows).

Потік платежів, в якому розмір платежу і інтервал між двома послідовними платежами є постійними, називається фінансовою рентою або ануїтетом.

Прикладами ренти є виплати відсотків за облігаціями, внески по погашенню кредиту, виплати страхових премій. У всіх наведених прикладах певні грошові суми сплачуються через рівні інтервали часу.

Фінансова рента описується такими параметрами:

1) член ренти – розмір кожного окремого платежу;

2) період ренти – часовий інтервал між двома послідовними платежами;

3) строк ренти – час від першого до останнього платежу фінансової ренти;

4) відсоткова ставка.

Фінансові ренти класифікуються за наступними ознаками:

а) за вірогідністю сплати членів ренти поділяються на умовні й безумовні. Безумовні ренти підлягають безумовній сплаті, наприклад, погашення кредиту. Сплата умовної ренти залежить від настання певного випадку. Тому число членів такої ренти заздалегідь не відоме (наприклад, число сплат пенсій);

б) за кількістю членів відрізняють ренти з кінцевою кількістю членів ренти(обмежені) та необмежені ренти (наприклад, сплати за облігаційними позиками з необмеженим строком);

в) за моментом сплати платежів виділяють ренти звичайні (постнумерандо) й ренти пренумерандо.

Рента постнумерандо – рента, платежі по якій здійснюються наприкінці кожного періоду.

Рента пренумерандо – сплати відбуваються на початку кожного періоду.

У більшості практичних випадків кількісний аналіз потоків платежів передбачає розрахунок однієї з двох загальних характеристик – нарощуваної суми та теперішньої величини ренти.

Нарощувана сума – сума усіх членів послідовності платежів з нарахованими на них відсотками до кінця строка.

Під теперішньою величиною розуміється сума усіх членів потоку, дисконтованих на певний момент часу, співпадаючий з початком потоку платежів або упереджаючий його.

Ми будемо розглядати звичайні, обмежені фінансові ренти, члени яких не змінюються у часі, платежі здійснюються раз на рік або p- разів на рік, відсотки нараховуються раз або m – разів на рік.

Приклад. Нехай у кінці кожного року протягом 4 років у банк вноситься 1000 грн., відсотки нараховують у кінці року, ставка 5% річних. У цьому випадку 1-й внесок до кінця строку ренти дорівнюватиме 1000 1,05³, оскільки відповідна сума перебувала на рахунку протягом 3 років; 2-й внесок дорівнюватиме 1000 1,05²; 3-й внесок = 1000 1,05. Останній внесок відсотків не приносить, тобто = 1000.

Таким чином, наприкінці строку ренти внески з нарахованими відсотками представляють числовий ряд: 1000 1,05³; 1000 1,05²; 1000 1,05; 1000. Нарощувана сума наприкінці строку ренти дорівнюватиме сумі усіх членів цього ряду.

Узагальнюючи числовий приклад, виведемо відповідну формулу для нарощування суми річної ренти. Введемо наступні позначення:

S – нарощена сума ренти;

R – розмір члена ренти;

і – відсоткова ставка;

n – строк ренти (кількість років).

Члени ренти будуть приносити відсотки протягом n-1; n-2;...2; 1; 0 років, а нарощувана величина членів ренти складатиме R(1+і)^n-1; R(1+і)^n-2 … R(1+і); R. Перепишимо цей ряд у зворотньому порядку. У такому вигляді він являє собою геометричну прогресію із знаменником (1+і) та першим членом R. Знайдемо суму прогресії

де S – нарощувана сума ренти постнумерандо;

– множник нарощування ренти. Його значення табульовані.

Теперішня величина річної звичайної ренти постнумерандо (капіталізована вартість потоку) визначається за формулою

Для визначення нарощуваної та теперішньої величини ренти пренумерандо використовують відповідно наступні формули:

Для визначення нарощуваної величини річної ренти з нарахуванням відсотків m-разів на рік використовується формула

Задачі:

Задача 1

Витрати на придбання будинку, який здається в оренду, складають 1,5 млн. грн. Якою має бути величина середньорічних надходжень за оренду, щоб при розрахунковій ставці відсотка 5% повернути через 30 років витрати на придбання будинку?

Задача 2

Визначити загальну майбутню вартість потоку грошей по закінченні 5 років при нормі 10% річних, який представлено наступними надходженнями (при розрахунках врахувати, що вихідна інформація надана на кінець періоду):

1 рік – 100 тис. грн.; 2 рік – 200 тис. грн.; 3 рік – 200 тис. грн.; 4 рік – 300 тис. грн.; 5 рік – 300 тис. грн.

Задача 3

Визначити загальну поточну вартість потоку грошей по закінченні 5 років при нормі 14% річних, який представлено наступними надходженнями (при розрахунках врахувати, що вихідна інформація надана на кінець періоду): 1 рік – 100 тис. грн.; 2 рік – 200 тис. грн.; 3 рік – 200 тис. грн.; 4 рік – 300 тис. грн.; 5 рік – 300 тис. грн.

Задача 4

Підприємство отримало кредит 10 000 грн. під 14% річних. Позика повинна бути погашена чотирма рівними внесками у кінці кожного року. Визначити загальну суму виплат по даній позичці.

Задача 5

Підприємство отримало кредит 10 000 грн. під 14% річних. Позика повинна бути погашена чотирма рівними внесками у кінці кожного року. Визначити суму сплачених відсотків по даній позиці.

Задача 6

Пропонується два варіанти вкладення грошей. Перший: внести на рахунок у банк 500 грн. під 10% річних, що будуть нараховуватися раз у півріччя. Другий: внести на рахунок у банк 1000 грн. під 7,5%, які будуть сплачуватися раз на рік. Який із запропонованих варіантів є вигіднішим, якщо Вас цікавить тільки вартість вкладень через 5 років?

Задача 7

Відповідно до угоди у Вас є право вибору: отримати 25000 грн. через 6 років, або 50000 грн. через 12 років. Якою повинна бути ставка відсотка з кінця 6 року до кінця 12 року, щоб перший та другий варіанти були однаково вигідними?

Задача 8

Громадянин В. бажає придбати ануїтет, за яким він буде отримувати 7000 грн. на рік протягом усього життя. За статистичними розрахунками страхової компанії очікується тривалість життя для віку громадянина В. 21 рік. Відсоток за ануїтетом, який пропонується компанією, дорівнює 6% на рік. Скільки Громадянин В. повинен заплатити за цей ануїтет? Як зміниться вартість цього ануітету, якщо відсоток складатиме 10%?

Задача 9

Позику у 100 тис. грн. необхідно погасити рівними сумами за 5 років, платежі здійснюються у кінці року. За позику сплачуються відсотки за ставкою 5% річних. Визначити необхідну суму для погашення позики.

Задача 10

Якщо через два роки підприємству необхідні кошти для початку реального інвестиційного проекту, вартість якого складає 500 тис. грн., яку суму необхідно зарезервувати для цього зараз? Ставка дорівнює 40% річних, нарахування здійснюється за схемою складних відсотків.

Задача 11

Генеральний план розвитку компанії передбачає зростання поточної вартості акцій з 5000 тис. грн. до 6200 тис. грн. на кінець 4-річного періоду. Яким повинно бути щорічне зростання вартості акцій? Відсотки складні.

Задача 12

Існує два альтернативних варіанти забезпечення підприємства необхідним обладнанням:

1) його придбання, для чого одноразово необхідно 150 тис. грн.;

2) лізинг обладнання на два роки, який передбачає щомісячну сплату лізингових платежів у розмірі 5 тис. грн. і перехід обладнання у власність наприкінці строку дії договору.

Якому варіанту слід віддати перевагу, враховуючи, що норма капіталізації коштів складає 40% річних?

Задача 13

Кредит у розмірі 40 тис. грн. надається за складною обліковою ставкою 25% річних. Визначити термін, на який надається кредит, якщо позичальник бажає отримати 32 тис. грн.

Задача 14

Вам пропонують здати в оренду ділянку на три роки. При цьому є два варіанти оплати:

1) частками, наприкінці кожного року, а саме: 1000 грн. в кінці першого року; 1100 грн. – в кінці другого; 1200 грн. – в кінці третього;

2) 3500 грн. наприкінці 3-річного періоду.

Який варіант доцільніше обрати, якщо банк пропонує 20% річних за вкладами?

Задача 15

Обладнання, вартість якого на момент надання в оренду дорівнює 1000 тис. грн., здано на чотири роки в оренду. Залишкова вартість на момент закінчення строку оренди оцінюється у 400 тис. грн. Необхідна доходність від інвестицій в обладнання визначена на рівні 15% річних. Якою повинна бути орендна плата, яка забезпечить задану доходність за умови, що орендні платежі вносяться раз наприкінці року?

Задача 16

Перед інвестором стоїть завдання розмістити 1000 грн. на депозитний вклад строком на один рік. Один банк пропонує інвестору сплачувати доход за складними відсотками у розмірі 23% у квартал; другий – у розмірі 30% один раз у чотири місяці; третій – у розмірі 45% два рази на рік; четвертий – у розмірі 100% раз на рік. Яка пропозиція є найбільш привабливою для інвестора?

Задача 17

Кредит надається на півроку за умови простої облікової ставки 20% річних. Визначити суму, яку отримає позичальник та розмір дисконту, якщо необхідно повернути 20 тис. грн.

Задача 18

Кредит виданий на два роки у розмірі 50 тис. грн. Реальна прибутковість операції повинна скласти 10% річних (відсотки складні). Рівень інфляції, що очікується дорівнює 15% на рік. Визначити множник нарощування, складну ставку відсотка, нарощену суму.

Задача 19

Визначити реальну майбутню вартість грошей та їх реальний приріст (за рахунок інвестування) за наступними даними: обсяг вкладених коштів 500 тис. грн.; період інвестування 2 роки; ставка капіталізації з урахуванням інфляції – 60%; індекс інфляції за рік – 1,45.

Задача 20

Визначити поточну вартість кожного потоку після 5 років при нормі 14% річних (при цьому врахувати, що вихідна інформація надана на кінець періоду).

Задача 21

Позичка надана під 20% складних річних. Яким повинен бути рівень простої відсоткової ставки за терміну:

а) 10 років;

б) 8 місяців.

Задача 22

Необхідно визначити розмір рівних внесків, які здійснюються у кінці року, для наступних двох ситуацій, у кожній з яких передбачається нарахування на внески річних відсотків за ставкою 8%:

1) створити на кінець 5- річного періоду фонд у 1000 тис. грн.;

2) погасити поточну заборгованість, яка дорівнює 1000 тис. грн.

Задача 23

Визначити період, необхідний для зростання початкового капіталу у 5 разів, використовуючи прості відсотки за ставкою 5% річних.

Задача 24

Створюється фонд, внески здійснюють протягом 10 років раз у кінці року у сумі 40 тис. грн. На кошти нараховуються відсотки за ставкою 10% річних. Визначити розмір фонду наприкінці строку.

Задача 25

При розробці фінансової угоди сторони домовились про те, що дійсна прибутковість фінансової операції повинна скласти 9%, причому нарахування відсотків будуть здійснюватися кожного місяця. Чому у цьому випадку дорівнює номінальна відсоткова ставка?

Задача 26

Підприємство поклало на депозитний рахунок 200000 грн. під 20% річних строком на 3 роки. Скільки буде на рахунку підприємства за умови нарахування складних відсотків щомісяця:

а) наприкінці кварталу;

б) наприкінці строку дії договору.

Задача 27

Чи є рівноцінними наступні два боргові зобов’язання?

Умови першого: S₁ = 400000 грн., n₁ = 4 місяці.

Умови другого: S₂ = 420000 грн., n₁ = 9 місяців.

Відсоткова ставка в обох випадках дорівнює 10% річних.

Задача 28

На банківському рахунку підприємства 20 000 грн. Банк сплачує 18% складних річних відсотків. При цьому пропонується взяти участь у ризикованому проекті, участь в якому, як очікується, збільшить початковий капітал у 3 рази. Період операції 6 років. Чи варто прийняти пропозицію?

Задача 29

Чому дорівнює сума дисконту при продажу фінансового інструмента на суму 5000 грн., якщо строк його погашення 3 роки, а покупець застосовує складну річну облікову ставку 8%?

Дата добавления: 2015-09-18 | Просмотры: 1659 | Нарушение авторских прав