АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Введем новую переменную t = 4x, получим sin t = . Так как |а|= , значит | а | ≤ 1 и решение уравнения имеет вид х = (–1)ⁿ arcsin a + πn.

Тогда t =(–1)ⁿ arcsin +πn. А так как arcsin = , то t = (–1)ⁿ +πn. Следовательно, 4х = (1)ⁿ +πn. Разделим обе части на четыре, получим х = (- 1)ⁿ + .

ЗАМЕЧАНИЕ. Необязательно вводить новую переменную. Можно сразу от уравнения sin 4x = переходить к уравнению 4х = (–1)ⁿ + πn.

Пример 2. Найти те корни уравнения sin 4x = , которые принадлежат отрезку [0, ].

Решение. Как мы знаем из примера 1, решение уравнения sin 4x = записано в виде х=(–1)ⁿ + . Далее, придавая параметру n целочисленные значения и подставляя эти значения в общую формулу корней, получим

1) если n=0, х = (- 1)⁰ +0 = . Это число принадлежит заданному отрезку [0, ].

2) если n =1, х=(–1)¹ + == – + = . Это число принадлежит заданному отрезку [0, ].

3) если n =2, х =(- 1)² + = + = . Это число не принадлежит заданному отрезку [0, ]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку значения икс, которые получаются из общей формулы при n> 2.

4) рассмотрим n = - 1, х =(- 1)^{- 1} - = – – = . Это число не принадлежит заданному отрезку [0, ], так как отрицательное. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку значения икс, которые получаются из общей формулы при n<–1.

Итак, заданному отрезку [0, ] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при n=0 и n =1. Эти корни и .

Ответ: , .

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используют метод введения переменной или метод разложения на множители.

Пример 3. Решим уравнение tg + 2 сtg = 3.

Решение. Используем метод введения переменной. Пусть у = tg , тогда

сtg = (так как tg t ∙ сtg t = 1). Получим уравнение у + = 3, которое приведем к квадратному у² – 3у + 2 = 0. Корни этого уравнения 1 и 2.

Вернемся к переменной x и получим два уравнения tg = 1 или tg = 2.

Так как уравнение tg x = a имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид х = arctg x a + πn, то для первого уравнения имеем: = arctg1 + πn = + πn, значит, х = + 3πn.

Для второго уравнения имеем: =arctg2+πn, значит, х=3arctg2+3πn.

Ответ: х = + 3πn, 3arctg2+3πn.

Пример 4. Решить уравнение 2 cos х sin 7x - sin 7x = 0.(два косинус икс на синус семи икс минус синус семи икс равно нулю)

Решение. Используем метод разложения на множители.

Вынесем за скобку sin 7x, получим sin 7x(2cos х – 1)=0. Перейдем к совокупности уравнений:

sin 7x = 0; 2 cosх – 1=0

2 cosх = 1

cosх = .

Так как мы помним, что при а=0, х = πn,

	а =0	а = - 1	а = 1
sin x =a	х = πn	х =- + 2πn	х = + 2πn
cos x =a	х = + πn	х = π + 2πn	х = 2πn

то из первого уравнения находим, что 7х = πn, значит, х = .

Так как Решения уравнения cos x =a, при | а | ≤ 1, имеют вид: х = ±arccos a + 2πn, а а= , то из второго уравнения находим: х = ±arccos + 2πn,

А так как из определения арккосинуса числа а следует, что arccos - это такое число, косинус которого равен , находим, что х = + 2πn.

ЗАМЕЧАНИЕ. При переходе от уравнения вида f₁(x) ∙ f₂(x) = 0 нужно быть очень внимательным.

Рассмотрим, например, уравнение ctgх(cosх – 1) =0.

1. Перейдем к совокупности уравнений:

сtg х=0. cosх – 1=0.

cos х =1

Из уравнения ctg х= 0 находим по таблице значений котангенса: arcctg 0= , тогда х = + πn,

t
ctg t	–

а из уравнения cos х =1 находим х

Вспоминаем частные случаи, значит х= 2πn.

Но включить в ответ второе решение нельзя, потому что при значениях х = 2πn множитель ctgх не имеет смысла, т.е. значения х = 2πn не принадлежат области определения уравнения (или по-другому области допустимых значений – ОДЗ). Значит х = 2πn - это посторонние корни.

Ответ: х = + πn, .

Дата добавления: 2016-03-26 | Просмотры: 318 | Нарушение авторских прав