АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Однородные тригонометрические уравнения

Разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.

Познакомимся с определением. Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Если а=0, то уравнение примет вид b cos x = 0. Если b = 0, то получим а sin x= 0. Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы уже рассматривали.

Рассмотримтот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x+b cos x = 0 почленно на cos x.

Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0, то уравнение а sin x+b cos x = 0 примет вид а sin x = 0, а ≠ 0, следовательно sin x = 0. Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin² x+ cos² x=1.

Разделив обе части уравнения а sin x+b cos x = 0 почленно на cos x, получим:

Осуществим преобразования: 1. ; 2.

3.Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0.

Осуществим преобразование:

1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком

а tg x =- b

2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а

Вывод: Уравнение вида а sin mx+b cos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим

Таки образом получили уравнение: , Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.

Решение нашего уравнения будет иметь вид:

= arctg + πn, найдем х

х=2 arctg + 2πn.

Ответ: х=2 arctg + 2πn.

Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени

а sin² x+b sin x cos x +с cos² x= 0.

Рассмотрим несколько случаев.

I. Если а=0, то уравнение примет вид b sin x cos x +с cos² x= 0.

При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x(b sin x +с cos x)= 0. Откуда cos x= 0 или b sin x +с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.

Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим

1. .

2.

Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0

 

tg х= Решение нашего уравнения будет: х = arctg + πn, .

 

II. Если а≠0, то обе части уравнения почленно разделим на cos² x.

Получим квадратное уравнение относительно tg х, которое решается введением новой переменной z= tg х.

 

III. Если с=0, то уравнение примет вид а sin² x+b sin x cos x= 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cos x). Получим

, т.е. cos x=0 или

Решение первого уравнения cos x=0: х = + πn

А второе уравнение – это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части почленно на cos x: tg х - =0, tg х = , х= arctg + πn, х= + πn

Ответ: х = + πn, х= + πn.

Задания

Решите уравнения
1. sint=0	6. cos =0
2. tg t=1	7. 2sin
3. cos t = 1	8. tg
4. sin t = -1	9. cos 2 x + sin x · cos x = 1
5. ctg t = 0	10.
	11. tg2
	12. 3cos2t-5cost = 0
	13. 2cos t =
	14. 2sin t +1 = 0

Домашнее задание

1. Решить уравнение: 2 cos x + sin x+1=0

2. Решить уравнение: 3 sin x - 4sin x cos x + cos x=0

3. Решить уравнение: 2 sin x= sin 2x

4. Решить уравнение: sin x+ cos x=2

5. Решить уравнение: cos x – 10 cos x+3=0

Дата добавления: 2016-03-26 | Просмотры: 507 | Нарушение авторских прав