Знакочередующиеся ряды.
Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):
Исследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n ®¥, то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов ряда:
Важное для практики значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов:
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Данный ряд знакочередующийся, т.к.
Исходный ряд можно переписать в виде
Рассмотрим сначала ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда:
Сравним его с гармоническим рядом 1+1/2+1/3+…+1/ n +…, о котором известно, что он расходится. Так как
то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям: во-первых, монотонного убывания абсолютных величин членов ряда, во-вторых, общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, p/2] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, … выполняются неравенства, а также необходимое условие:
Окончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 508 | Нарушение авторских прав
|