Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Степенные ряды.

Прочитайте:

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где множители при степенях (x – x₀) – коэффициенты ряда, число x₀ – центр интервала сходимости. При частном значении переменной x степенной ряд становится числовым. Сходимость степенного ряда зависит от величины x. Из теоремы Абеля для степенных рядов следует, что область сходимости всякого степенного ряда – некоторый интервал (x₀–R, x₀+R), называемый интервалом сходимости. Во всех точках этого интервала степенной ряд сходится и притом абсолютно, вне интервала – ряд расходится. На границе интервала различные степенные ряды ведут себя по-разному. Число R – половина длины интервала сходимости – радиус сходимости. Если степенной ряд сходится лишь в одной точке, то радиус R = 0. Если ряд сходится при любом x, то R = ¥.Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

если соответствующие пределы существуют – конечные или бесконечные. При этом R = 0, если L = 0 и R = ¥, если L = 0.

Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. В развернутом виде ряд выглядит следующим образом

Коэффициенты ряда:

Найдем радиус сходимости

Заключаем, что интервал сходимости (-1/3, 1/3).

Исследуем далее сходимость степенного ряда в граничных точках интервала:

а) при x= 1/3 получим числовой положительный ряд:

Этот ряд расходится, что видно из сравнения его с гармоническим рядом.

б) при x = -1/3 получим знакочередующийся ряд:

Члены этого ряда удовлетворяют условиям теоремы Лейбница:

Знакочередующийся ряд сходится, т.е. при X = -1/3 степенной ряд сходится и окончательно область сходимости степенного ряда определяется неравенствами –1/3 £ X < 1/3.

При решении примеров на применение степенных разложений к приближенным вычислениям следует использовать известные формулы разложения элементарных функций в ряды Маклорена. Они помещены в таблице 2. Заметим, что важную роль здесь выполняет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Опираясь на это следствие легко установить, сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с заданной точностью. Разумеется, все расчеты надо проводить в рамках этой точности.

Пример 9. С точностью до e = 0.0001 вычислить exp (-0.1).

Решение. Используем разложение (табл. 2)

Полагая x= -0.1, имеем

Получили знакочередующийся ряд. Величина его остатка по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Возьмем 4 члена ряда, тогда погрешность не превышает величины 0.0000042, т.е.

Каждое из оставленных четырех слагаемых учитываем, удерживая 5 цифр после запятой. При этом, округляя, в ответе будем иметь 4 верных десятичных знака: exp (-0.1)= 0.9048.

Пример 10. С точностью до e = 0.0001 вычислить интеграл

Решение. Интеграл вычислим, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд. При этом воспользуемся формулой (табл. 2):

Имеем

Степенной ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать любое число раз, при этом радиус сходимости не меняется (основное свойство степенных рядов). Выполняя почленное интегрирование, имеем

Получился знакочередующийся ряд, причем Поэтому с заданной точностью имеем

Таблица 1. Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Название признака	Формулировка признака	Примечание
1. Первый признак сравнения	Пусть сравниваются два положительных ряда и . Если для всех n, начиная с некоторого N, выполняются неравенства , то из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда ; если расходится «меньший» ряд ,, то расходится также «больший» ряд .	При сравнении могут полезными оказаться известные неравенства: sin a < a < tg a, если 0 < a < p/2; ln n < n, если n ³ 2
2.Второй признак сравнения	Если существует конечный отличный от нуля предел то ряды и одновременно сходятся, либо расходятся.	В качестве эталонного ряда часто используют обобщенный гармонический рядS(1 /n^p) который сходится при p> 1, а расходится при p< 1, а также “геометрический” ряд S qⁿ, который сходится при ½ q ½<1.
3. Признак Даламбера	Если для положительного ряда существует конечный предел тогда при D <1 ряд сходится, а при D >1 - расходится.	В случае D = 1 признак «не работает»; нужен другой, более сильный признак.
4. Радикальный признак Коши	Если для положительного ряда существует конечный предел то при K <1 ряд сходится, а при K >1 – расходится.	Если K = 1, нужен другой признак
5. Интегральный признак Коши	Пусть при х ³1 f(x) - непрерывная монотонно убывающая положительная функция, а члены ряда являются значениями этой функции натурального аргумента: . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл Если интеграл расходится, то и ряд расходится.	Интегральный признак удобно применять к исследованию положительных рядов, для которых признаки Даламбера или радикальный не приводят к цели, а несобственный интеграл легко исследовать на сходимость