АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Эрбрановская интерпретация.

Прочитайте:
  1. Граница производственных возможностей: экономический смысл и графическая интерпретация. Понятие экономической эффективности.
  2. Когнитивная интерпретация.
  3. Когнитивная интерпретация.

Определение. Пусть H¥ – эрбрановский универсум множества дизъюнктов S. Интерпретация j с областью H¥ называется H – интерпретацией множества S, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) для любой константы с из S выполняется равенство j(с)=с,

2) если f – символ n-местной функции из S, то jf – функция, определенная на H¥ равенством

(jf)(t1,…,tn)=f(t1,…,tn)

для любых t1,…,tnÎH¥.

 

Если B={B1,B2,…,Bn,…} – эрбрановский базис множества дизъюнктов S, то H-интерпретацию j удобно представлять в виде множества литералов

 

{L1,L2,…,Ln,…},

 

где Li есть Bi, если j(Bi)=1, и Li=ØBi, если j(Bi)=0.

Например, если S – множество дизъюнктов из примера 1, то эрбрановскими интерпретациями будут

 

j1={P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))),…}

j2={P(a), Q(a), ØP(f(a)), ØQ(f(a)), P(f(f(a))), Q(f(f(a))), ØP(f(f(f(a)))),…}.

j3={P(a), ØQ(a), P(f(a)), ØQ(f(a)), P(f(f(a))), ØQ(f(f(a))),…}.

 

Последнее, что нужно сделать, чтобы доказать основное утверждение этого параграфа (теорему 4.5), ввести понятие H-интерпретации j*, соответствующей (произвольной) интерпретации j множества S.

 

Предположим, что S содержит хотя бы одну константу. Если j – интерпретация множества S с областью М, то для любого элемента h эрбрановского универсума значение j(h) определено (и является элементом множества М.)

 

Определение. Пусть j – интерпретация множества S с областью М. Тогда H- интерпретацией j*, соответствующей интерпретации j называется H-интерпретация, удовлетворяющая следующему условию: для любых элементов t1,…,tn эрбрановского универсума выполняется эквиваленция:

(j*P)(t1,…,tn)=1 Û (jP)(j(t1),…,j(tn))=1

для любого символа предиката P.

 

Приведем пример. Пусть S – множество дизъюнктов из примера 1. Напомним, что S={P(x), ØP(x)ÚQ(f(y)), ØQ(f(a))} и эрбрановский базис множества S есть B={P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))),…}. Рассмотрим интерпертацию j с областью М={1,2}, определяемую равенством j(а)=1 и таблицей 4.1.

Таблица 4.1

  jf jP jQ
       
       

 

j*={ØP(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), ØP(f(f(a))),…}.

Рассмотрим теперь случай, когда S не содержит констант. Пусть j – интерпретация множества S с областью М и а – константа, образующая эрбрановский универсум H¥. В этом случае значение j(а) неопределено. Для получения H-интерпретации j* расширяем функцию j на а полагая j(а) равным произвольному элементу из М. Далее поступаем так, как описано выше. Если множество М неодноэлементно, то мы можем получить не одну H-интерпретацию j*, соответствующую j. Нетрудно привести пример, когда H-интерпретаций j* столько же, сколько элементов в множестве М.

Следующее утверждение непосредственно следует из определений.

 

Лемма. Пусть j – интерпретация с областью М, при которой все дизъюнкты из S истинны. Тогда все дизъюнкты из S истинны при любой H-интерпретации j*, соответствующей j.

 

Теорема 4.5. Множество дизъюнктов S невыполнимо тогда и только тогда, когда S ложно при всех H-интерпретациях, т.е. для любой H-интерпретации множества S в S найдется дизъюнкт, который ложен при этой H-интерпретации.

 

Доказательство. Необходимость очевидна. Действительно, невыполнимость множества S означает, что это множество ложно при любой интерпретации. В том числе и при любой H-интерпретации. Достаточность следует из леммы, поскольку если S выполнимо, то существует хотя бы одна интепретация j, при которой все дизъюнкты из S истинны. Но тогда все дизъюнкты из S будут истинны и при H-интерпретации j*.


Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 796 | Нарушение авторских прав







При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.003 сек.)