Решение. а)Длинырёбер и находим как длины векторов и
а) Длинырёбер и находим как длины векторов и :
;
;
;
.
б) Угол между рёбрами и находим как угол между векторами и по формуле: . Учитывая, что: , , получим . Откуда
в) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:
, , получим .
г) Объём пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:
,
,
получим .
д) Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки , и , и записываем его в виде общего уравнения плоскости:
е) Длину высоты пирамиды находим как расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением :
.
Ответ: а) , ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:
а) ; б) ;
в) .
Решение:
а) Так как , , то уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).
Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..
Рис.1
б) Так как , , , то уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части
уравнения , преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).
Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).
в) Так как , , , то уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси : . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).
Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).
Рис.2. Рис.3.
Раздел II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
101-110. Найтиестественную область определения функции .
Дата добавления: 2015-05-19 | Просмотры: 361 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|