Решение. 1)Находим область определения функции: = )
1) Находим область определения функции: = ).
2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству , но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:
, ,
, .
Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.
3) Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции = ) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.
4) Находим точки пересечения графика с осями координат.
Так как , то точек пересечения графика с осью нет.
Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка - точка пересечения графика с осью .
5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции .
Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .
Вычисляем сначала пределы при :
, .
В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:
Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:
и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:
;
не существует при и .
Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка .
Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
|
|
|
|
| +
| +
|
|
|
|
| возрастает
| возрастает
|
| убывает
| убывает
| Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и .
7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:
и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: , так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .
Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.
Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:
|
|
|
|
| +
|
| +
|
| график вогнутый
| график выпуклый
| график вогнутый
| Точек перегиба нет.
8) На основании полученных результатов строим график функции (рис.6)
Рис.6.
181-190. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке : , .
Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.
Дата добавления: 2015-05-19 | Просмотры: 491 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|