Трехслойные разностные схемы для уравнения колебаний
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует и непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
Введем сетку , где
, .
Минимальный шаблон, на котором можно аппроксимировать уравнение (3.1), это пятиточечный шаблон "крест". Таким образом, здесь требуется использовать три временных слоя: n -1, n, n +1. Такие схемы называются трехслойными.
Простейшей разностной аппроксимацией уравнения (3.1) и граничных условий (3.2) является следующая система уравнений:
(3.4)
(3.5)
Разностное уравнение (3.4) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по t и по h. Решение выражается явным образом через значения на предыдущих слоях.
(3.6)
Для начала счета по формулам (3.6) должны быть заданы значения , , . Из первого начального условия (3.3) сразу получаем
(3.7)
Поскольку уравнение (3.4) аппроксимирует основное уравнение (3.1) со вторым порядком по, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Чтобы добиться этого, воспользуемся разложением
,
учтем, что в силу дифференциального уравнения (3.1) выполняется равенство
Таким образом, и, следовательно, разностное уравнение
(3.8)
аппроксимирует второе из начальных условий (3.3) со вторым порядком по t и по h.
Совокупность уравнений (3.4), (3.5), (3.7), (3.8) составляет разностную схему, аппроксимирующую задачу (3.1)-(3.3). Данная схема устойчива, если
(3.9)
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1331 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|