П. 2.3 Неявные схемы
Для построения чисто неявной схемы для уравнения теплопроводности (схемы с опережением) зададим шаблон, состоящий из четырех узлов:
.
Разностная схема, использующая этот шаблон имеет вид:
(2.10)
Здесь .
Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй по h. Решение системы (2.10) находится по слоям начиная с n = 1. Для нахождения по известным требуется решить систему уравнений:
, (2.11)
где .
Эту систему можно решать методом прогонки. Схема (2.10) абсолютно устойчива.
Для построения шеститочечной симметричной схемы используется шаблон, состоящий из шести узлов .
Разностная схема, использующая этот шаблон имеет вид:
(2.12)
Если , то схема (2.12) имеет второй порядок аппроксимации как по h, так и по t. Она абсолютно устойчива, и ее можно решать методом прогонки.
Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему:
(2.13)
При получим явную схему, - чисто неявную схему, - симметричную схему.
Исследуем погрешность аппроксимации схемы (2.13) на решении исходной задачи (2.1)-(2.3). Представим решение задачи (2.13) в виде , где - точное решение дифференциальной задачи (2.1)-(2.3). Тогда для погрешности получим систему уравнений:
(2.14)
Входящая в правую часть уравнения (2.14) сеточная функция
называется погрешность аппроксимации схемы (2.13) на решении задачи (2.1)-(2.3).
Разложим все функции, входящие в выражение для , по формуле Тейлора в точке . Учитывая разложения
, ,
где , , ,
получим
.
Отсюда проводя разложения в точке и обозначая , будем иметь
,
и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
.
Учитывая уравнение (2.1) и следствие из него , окончательно можем записать, что
(2.15)
Из формулы (2.15) можно сделать следующие выводы.
Если , , то схема (2.13) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертыйпо h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации.
Если , , то схема (2.13) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h.
При остальных значениях s и при схема (2.13) имеет первый порядок аппроксимации по t и второй по h.
Все схемы вида (2.13) с абсолютно устойчивы. При разностная схема (2.13) является неявной схемой. Для нахождения решения требуется решать систему уравнений
(2.16)
где .
Система (2.16) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при сводятся к неравенству
и выполнены при .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 890 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|