П. 2.2 Явная схема
Для построения разностной схемы введем сетку в области изменения независимых переменных. Сетку по x с шагом h обозначим , сетку по t с шагом t обозначим .
Точки образуют узлы пространственно-временной сетки .
Определение 2.1 Узлы , принадлежащие отрезкам , , называются граничными узлами сетки , а остальные узлы внутренними.
Определение 2.2 Слоем называется множество всех узлов сетки , имеющих одну и ту же временную координату.
Так, n-ым слоем называется множество узлов .
Так же для построения разностной схемы необходимо задать шаблон.
Определение 2.3 Шаблоном называется множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального уравнения.
Чтобы аппроксимировать уравнение (2.1) в точке , введем шаблон, состоящий из четырех узлов .
Производную заменим в точке разностной производной . Производную второй разностной производной . Правую часть заменим приближенно сеточной функцией . В качестве можно взять одно из следующих выражений:
, , .
В результате получим разностное уравнение
(2.4)
Оно аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке с первым порядком по h при условии, что разность имеет тот же порядок малости.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные условия (начальные и граничные) - в граничных узлах сетки.
Для уравнения теплопроводности (2.1), удовлетворяющего начальным условиям (2.2) и граничным условиям (2.3), разностная схема будет иметь вид:
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равных числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям.
Решение на нулевом слое задано начальными условиями (2.7). Если решение на слое n уже найдено, то решение на слое n +1 находиться по явной формуле
(2.8)
а значения доопределяются из граничных условий. Поэтому схема (2.5)-(2.7) называется явной схемой.
Погрешность аппроксимации . Разностная схема устойчива при
, (2.9)
т.е. схему (2.5)-(2.7) можно применять только при условии (2.9).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 507 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|