Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Рассмотрим уравнение Пуассона
(4.1)
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике
и принимающее на границе заданные значения:
(4.2)
Задача, определяемая уравнением (4.1) и условием (4.2), называется задачей Дирихле.
Введем в прямоугольную сетку
.
Чтобы написать разностную схему для задачи (4.1), (4.2), аппроксимируем каждую из производных и на трехточечном шаблоне, полагая
, .
Пользуясь этими выражениями, заменим (4.1) разностным уравнением:
(4.3)
Граничные условия (4.2) заменим разностными функциями:
(4.4)
Точки , в которых записываются уравнения (4.3), принадлежат подмножеству
, ,
которое называется множеством внутренних точек сетки .
Совокупность точек , в которых заданы разностные граничные условия (4.4), называются границей сетки . Отметим, что угловые точки , , , не участвуют в данной аппроксимации и поэтому не относятся ни к внутренним, ни к граничным точкам.
Схема (4.3), (4.4) имеет второй порядок аппроксимации по и , и представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно , состоящую из уравнений и стольких же неизвестных.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 974 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|