АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости содержит сведения о чувствительности решения к изменениям в коэффициентах целевой функции и свободных членах ограничений, т.е. результаты постоптимизационного анализа. Он состоит из двух таблиц - для переменных и для ограничений. И для тех, и для других присутствует графа «Результ. значение», в которой указываются значения переменных и левых частей ограничений в оптимальном решении.

Если модель была реализована, как линейная, то для каждой переменной в графе «Нормир. стоимость» приводится значение, модуль которого равен дополнительной переменной в соответствующем ограничении двойственной задачи. Эту переменную иногда называют редуцированной (нормированной) стоимостью или сокращенными затратами (см. раздел 5.5). Кроме того, приводится значение коэффициента целевой функции при переменной («Целевой коэффициент»). В последних двух графах содержится информация о допустимых увеличении и уменьшении этого коэффициента, при которых найденный план остается оптимальным. Это интервал устойчивости оптимального плана. «Поиск решения» не выдает информации о том, что найденное решение является одним из множества решений, но предположение об этом можно сделать, если в одной из этих двух последних граф стоит ноль (см. раздел 6.7).

Для рассматриваемого примера таблица для переменных представляет собой таблицу 31.

Таблица 31 – Отчет по устойчивости для переменных

Из таблицы 31 видно, что при изменении прибыли на тонну карамели «Снежинка» от 108 – 94 = 14 (руб.) до 108 + 116 = 224 (руб.) или при изменении прибыли на тонну карамели «Яблочная» от 140 - 72,5 = 67,5 (руб.) до 140 + 940 = 1080 (руб.) оптимальный план задачи (см. таблицу 29) не изменится. Следует подчеркнуть, что в обоих случаях изменяется только одна из цен, другая же должна оставаться постоянной.

Например, предположим, что «Снежинка» будет приносить не 108 руб. прибыли на тонну, а 200 руб. на тонну. Тогда фабрике по-прежнему выгоднее всего будет выпускать 266,7 т карамели «Снежинка» и 1173,3 т карамели «Яблочная» (при условии, что «Яблочная» приносит по-прежнему 140 руб. прибыли на тонну). Поскольку 200 Î [14; 224], этот план останется оптимальным. Если же прибыль на тонну «Снежинки» возрастет, например, до 258 руб., то неизвестно, какой план выпуска продукции будет оптимальным для этой фабрики (так как 258 > 224). В самом деле, прибыльность этой карамели увеличилась на 150 руб. (258 – 108 = 150), а это больше, чем допустимое увеличение (150 > 116).

В графе «Нормир. стоимость» таблицы 31 находятся значения переменных двойственной задачи у₄ = у₅ = 0. Это совпадает с результатом, полученным в разделе 5.3. Пример, в котором значение в этой графе будет отличным от нуля, будет рассмотрен в разделе 6.8.

Для каждого ограничения в графе «Теневая цена» приводится значение соответствующей переменной двойственной задачи, которое иначе называют двойственной оценкой или теневой ценой (см. раздел 5.5). В графе «Ограничение. Правая часть» приводится значения свободного члена ограничения. В двух следующих графах находятся его допустимые увеличение и уменьшение, при которых оптимальный план двойственной задачи остается неизменным. Таким образом, последние две графы определяют интервал устойчивости двойственных оценок. Если в одной из последних граф стоит ноль, можно сделать вывод о том, что двойственная задача имеет множество решений.

Для нелинейной модели вместо всех этих граф приводится только множитель Лагранжа, который по своему экономическому смыслу совпадает с теневой ценой*. Если ограничений нет, то вся таблица для ограничений в этом отчете будет представлять собой одну запись: «НЕТ» (это может иметь место только для нелинейных задач).

Для рассматриваемого примера таблица для ограничений примет вид таблицы 32.

Таблица 32 – Отчет по устойчивости для ограничений

В графе «Теневая цена» здесь даны значения двойственных оценок
у₁ = 125,33; у₂ = 0; у₃ = 773,33. Ответ совпадает с полученным ранее в разделе 5.3.

Из таблицы 32 видно, что при изменении запасов сахарного песка на
1 т прибыль фабрики изменится на 125,33 руб. при условии, что запасы сахара останутся в пределах от 800 – 200 = 600 (т) до 800 + 362,5 = 1162,5 (т) при неизменных запасах остальных ресурсов. При изменении запасов фруктового пюре на 1 т оптимальная прибыль изменится на 773,33 руб. при условии, что запасы пюре останутся в пределах от 120 – 110 = 10 (т) до 120 + 26,4 =
= 146,4 (т) при неизменных запасах остальных ресурсов. С изменением запасов патоки оптимум не изменится (изменится на 0) при условии, что запасы патоки останутся в пределах от 600 - 77,3 = 522,7 (т) до любого значения (также при неизменных запасах остальных ресурсов).

В разделе 5.5 утверждалось, что если запасы сахарного песка составят, например, 810 т, то из того, что теневая цена сахара у₁» 125, можно сделать вывод, что прибыль возросла на 125*10 = 1250 (руб.). На самом деле данных о теневой цене для такого вывода недостаточно, о чем далее была сделана особая оговорка. Необходимо обязательно проверить устойчивость двойственной оценки. Увеличение запасов сахара – 10 т – необходимо сравнить с допустимым увеличением. Здесь это 362,5 т. Так как 10 < 362,5, то пользоваться теневой ценой можно, т.е. сделанный ранее вывод был верным.

Если потребуется ответить на вопрос, на сколько изменится прибыль, если запасы сахарного песка возрастут, например, на 400 т, то ответить на этот вопрос на основании данных таблицы 32 будет невозможно, так как 400 > 362,5.

В числе прочего, из таблицы 32 следует, что на приобретение каждой дополнительной тонны сахара фабрике имеет смысл потратить не более
125 руб., а пюре – 773,3 руб. Покупать патоку бессмысленно.

К результатам отчета по устойчивости для линейной задачи следует относиться с осторожностью, если оптимальный план задачи - вырожденный (число ненулевых переменных в задаче с неотрицательными переменными, в том числе дополнительных, меньше, чем число ограничений). В самом деле, в этом случае симплекс-метод часто позволяет перейти к «другому» решению, которое будет отличаться только составом базиса, а значения переменных останутся теми же. Это происходит тогда, когда из базиса выходит переменная с нулевым значением (наименьшим отношением свободного члена к коэффициенту в разрешающем столбце будет ноль). При этом все остальные свободные члены будут пересчитаны через разрешающую строку, в которой в столбце В стоит нулевое значение. Следовательно, они не изменятся.

Вместе с тем, если вспомнить методику постоптимизационного анализа (в нем используются результаты последней итерации симплекс-метода), легко понять, почему, выйдя за границы допустимых увеличения или уменьшения, можно все же получить то же самое решение. Новое решение отличается составом базиса, причем изменяется и содержание последней симплексной таблицы - исходные данные для расчетов.

По тем же причинам следует обращать внимание и на вырожденность решения двойственной задачи.

В рассмотренном примере результатам отчета по устойчивости можно доверять, так как ни в прямой, ни в двойственной задаче базис оптимального плана не является вырожденным. В прямой задаче три ограничения, и в оптимальном плане – три ненулевых переменных (х₁, х₂ и х₄). Если бы их было меньше трех, базис был бы вырожденным. В двойственной задаче два ограничения, и две ненулевых переменных в оптимальном плане (у₁ и у₃). Базис был бы вырожденным, если бы их было меньше двух.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1257 | Нарушение авторских прав