Простейшие системы массового обслуживания с обратной связью
3.1. В данном пункте мы дадим описание простейшей системы массового обслуживания с обратной связью.
Пусть на стохастическом базисе заданы два точечных процесса , с - измеримыми интенсивностями , соответственно, кроме того, на нем задана последовательность бернулли-евских случайных величин , принимающая значения {0,1}, причем . Предположим, что - последовательность марковских моментов, которые нагружают точечный процесс . Обозначим опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями:
Осуществим прореживание точечного процесса с помощью последовательности :
Как и в §1, введем процессы .
Очевидно, что Р – п. н. для любого . Теперь определим простой процесс обслуживания и назовем его процессом обслуживания для системы с обратной связью. Ясно, что:
Обозначим
и назовем его процессом (потоком) обратной связи.
Через обозначим процесс:
(20)
Положим . Очевидно, что из приведенных построений следует, что
(21)
для любого момента времени t и
, (22)
где - выходной поток.
3.2. Комментарий. Выше приведенное построение процесса имеет простую интерпретацию: на вход системы массового обслуживания (СМО) поступает поток заявок . Затем, поток обслуженных заявок прореживается последовательностью по следующему правилу: если , то она поступает на вход системы массового обслуживания в накопитель необслуженных заявок, т.е. должна быть обслужена снова, последнее означает, что обслуживание произведено некачественно (брак); если , то заявка обслужена качественно (не брак) и она покидает систему массового обслуживания. Ниже на рис. 2 приведена структурная схема СМО с обратной связью.
Рис. 2.
3.3. Для описанных выше систем массового обслуживания справедливы следующие утверждения.
Теорема 12. Пусть – простой процесс обслуживания с обратной связью. Тогда для любого Р - п. н. допускает представление:
1) ,где и определяются (20) и (21), соответственно;
2) (23)
Теорема 13. Уравнение (23) имеет единственное решение для любого
.
Доказательство утверждений теорем 12, 13 проводится аналогично доказательству теорем 10, 11 §2, поэтому их не приводим.
3.4. Выведем теперь уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятности длины очереди, т.е. .
Теорема 14. Пусть точечные процессы и не имеют общих скачков и имеют F – интенсивности , соответственно.
Пусть – процесс обслуживания с обратной связью, описываемый (23), причем – последовательность бернуллиевских случайных величин с , не зависящая от , i =1,2. Пусть .
Тогда удовлетворяет уравнению:
(24)
Доказательство теоремы опирается на утверждение.
3.4.1. Лемма 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Компенсаторы процессов , , , относительно потока и меры P имеют для вид, соответственно:
.
Доказательство. Достаточно найти компенсатор для потока обратной связи . Пусть - предсказуемый ограниченный процесс. Очевидно, что определен интеграл Римана-Стилтьеса и существует . Так как – последовательность бернуллиевских случайных величин, то ясно, что
Отсюда следует утверждение леммы.
3.4.2. Доказательство теоремы 14 почти дословно повторяет доказательство теоремы 10, поэтому его не приводим.
3.5. Возникает вопрос о том, можно ли предложить некоторую методику, позволяющую строить решение уравнения (17) ((24)). Такая методика существует для случая, когда коэффициенты уравнения (17) не зависят от n и t, т.е. и основана на использовании производящих функций распределения . Напомним, производящая функция для распределения вероятностей определяется выражением:
,
где . Умножим левую и правую части (17) на , а затем выполним суммирование по n от нуля до бесконечности. В результате получаем уравнение в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами
(25)
Произведем теперь преобразование Лапласа [ ] уравнения (25). Так как,
, то в результате получим из (25)
,
где , и .
Затем, беря обратное преобразование Лапласа относительно , легко, с учетом сделанных предположений, получить, что для любых t, n, i имеет вид:
,
где - обобщенная функция Бесселя первого рода [15] , Г(l)- гамма функция [15].
В общем случае неясно как строить решение уравнения (17). Поэтому возникает проблема разработки асимптотических методов анализа систем массового обслуживания.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 587 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|