АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Простейшие системы массового обслуживания с обратной связью

Прочитайте:
  1. I. Противоположные философские системы
  2. II. Клетки иммунной системы
  3. IV. Анатомия органов сердечно-сосудистой системы
  4. IV. Реакция эндокринной системы на гипогликемию
  5. V. Органы лимфатической системы, иммунной системы
  6. VI. Анатомия центральной нервной системы
  7. VII. Анатомия периферической нервной системы
  8. А) при повышении тонуса симпатической нервной системы
  9. А. Оценка состояния гипоталамо-гипофизарно-надпочечниковой системы
  10. Автоматизированные системы управления лечебно - профилактическим учреждением

3.1. В данном пункте мы дадим описание простейшей системы массового обслуживания с обратной связью.

Пусть на стохастическом базисе заданы два точечных процесса , с - измеримыми интенсивностями , соответственно, кроме того, на нем задана последовательность бернулли-евских случайных величин , принимающая значения {0,1}, причем . Предположим, что - последовательность марковских моментов, которые нагружают точечный процесс . Обозначим опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями:

 

 

Осуществим прореживание точечного процесса с помощью последовательности :

 

Как и в §1, введем процессы .

Очевидно, что Р – п. н. для любого . Теперь определим простой процесс обслуживания и назовем его процессом обслуживания для системы с обратной связью. Ясно, что:

Обозначим

и назовем его процессом (потоком) обратной связи.

Через обозначим процесс:

(20)

Положим . Очевидно, что из приведенных построений следует, что

(21)

для любого момента времени t и

, (22)

где - выходной поток.

3.2. Комментарий. Выше приведенное построение процесса имеет простую интерпретацию: на вход системы массового обслуживания (СМО) поступает поток заявок . Затем, поток обслуженных заявок прореживается последовательностью по следующему правилу: если , то она поступает на вход системы массового обслуживания в накопитель необслуженных заявок, т.е. должна быть обслужена снова, последнее означает, что обслуживание произведено некачественно (брак); если , то заявка обслужена качественно (не брак) и она покидает систему массового обслуживания. Ниже на рис. 2 приведена структурная схема СМО с обратной связью.

 
 

 

 

Рис. 2.

 

3.3. Для описанных выше систем массового обслуживания справедливы следующие утверждения.

Теорема 12. Пусть – простой процесс обслуживания с обратной связью. Тогда для любого Р - п. н. допускает представление:

1) ,где и определяются (20) и (21), соответственно;

2) (23)

Теорема 13. Уравнение (23) имеет единственное решение для любого

.

Доказательство утверждений теорем 12, 13 проводится аналогично доказательству теорем 10, 11 §2, поэтому их не приводим.

3.4. Выведем теперь уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятности длины очереди, т.е. .

Теорема 14. Пусть точечные процессы и не имеют общих скачков и имеют F – интенсивности , соответственно.

Пусть – процесс обслуживания с обратной связью, описываемый (23), причем – последовательность бернуллиевских случайных величин с , не зависящая от , i =1,2. Пусть .

Тогда удовлетворяет уравнению:

(24)

Доказательство теоремы опирается на утверждение.

3.4.1. Лемма 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Компенсаторы процессов , , , относительно потока и меры P имеют для вид, соответственно:

.

Доказательство. Достаточно найти компенсатор для потока обратной связи . Пусть - предсказуемый ограниченный процесс. Очевидно, что определен интеграл Римана-Стилтьеса и существует . Так как – последовательность бернуллиевских случайных величин, то ясно, что

Отсюда следует утверждение леммы.

3.4.2. Доказательство теоремы 14 почти дословно повторяет доказательство теоремы 10, поэтому его не приводим.

3.5. Возникает вопрос о том, можно ли предложить некоторую методику, позволяющую строить решение уравнения (17) ((24)). Такая методика существует для случая, когда коэффициенты уравнения (17) не зависят от n и t, т.е. и основана на использовании производящих функций распределения . Напомним, производящая функция для распределения вероятностей определяется выражением:

,

где . Умножим левую и правую части (17) на , а затем выполним суммирование по n от нуля до бесконечности. В результате получаем уравнение в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами

(25)

Произведем теперь преобразование Лапласа [ ] уравнения (25). Так как,

, то в результате получим из (25)

,

где , и .

Затем, беря обратное преобразование Лапласа относительно , легко, с учетом сделанных предположений, получить, что для любых t, n, i имеет вид:

,

где - обобщенная функция Бесселя первого рода [15] , Г(l)- гамма функция [15].

В общем случае неясно как строить решение уравнения (17). Поэтому возникает проблема разработки асимптотических методов анализа систем массового обслуживания.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 591 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.006 сек.)