Описание простейшей системы массового обслуживания
2.1. Пусть на стохастическом базисе заданы 2 точечных процесса , i =1,2, и неотрицательная, интегрируемая, - измеримая случайная величина .
Определение. Точечный процесс будем называть входным потоком.
Определение. Случайную величину - измеримую будем называть внутренним состоянием или начальной очередью.
Определение. Пусть , а . Процесс назовём простым процессом обслуживания или очередью.
2.2. Теорема 7. Пусть – простой процесс обслуживания. Тогда он допускает представление P –п. н.
. (4)
Доказательство. Момент времени является моментом скачка вниз процесса если и только если выполняются условия: а) ,
б) . Поэтому - п. н.
. (5)
Так как , то из (5) следует, что P - п. н.
. (6)
Из (6) следует, что P - п. н.
. (7)
Очевидно, что P - п. н. для любого , поэтому P - п. н. для любого . Из определения процесса следует, что для любого P - п. н., в силу (7),
Отсюда следует утверждение теоремы.
2.3. Из теоремы 7 вытекает определение.
Определение. Точечный процесс , определяемый равенством , называется выходным потоком.
2.4. Установим условия, при которых уравнение (4) разрешимо. Для этих целей нам понадобится ряд определений. Без ограничения общности можно считать, что .
Определение. Будем говорить, что (4) имеет сильное решение, если для любого - измеримо, Р - п. н. и обращает (4) в тождество.
Определение. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Будем говорить, что (4) имеет единственное сильное решение, если Р - п. н., где .
Теорема 8. Уравнение (4) имеет единственное решение.
Доказательство. Из уравнения (4) следует, что для любого Р - п. н.
.
Отсюда следует, что Р - п. н. для любого .
Заметим, что если решение уравнения (4) существует, то оно имеет кусочно-постоянную траекторию. Поэтому доказательство того факта,
что - измеримо проведём по индукции. Пусть - измеримо. Покажем, что - измеримо, где и – марковские моменты, которые нагружают простой процесс обслуживания. Из (4) следует, что при Р - п. н. Поэтому при Р - п. н. .
Из последнего равенства следует, что - измеримо. Таким образом, основной шаг индукции обоснован, а вместе с ним установлено существование решения уравнения (4).
Перейдём теперь к доказательству единственности решения (4). Его мы также проведём по индукции. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Так как имеет кусочно-постоянные траектории, то Р - п. н. для
. (8)
Рассмотрим разность . Пусть Р - п. н. Покажем, что Р - п. н. Из (8) следует, что Р - п. н. .
Отсюда следует, что основной шаг индукции доказан, а вместе с ним и утверждение теоремы.
2.5. Комментарии. 1) Из выведенного нами уравнения (4) для простого процесса обслуживания следует описание функционирования системы массового обслуживания (однолинейной). Представим себе, что имеется некоторый поток заявок , поступающий на вход системы, которая представляет собой накопитель заявок и прибор, обслуживающий эти заявки. При этом полагаем, что: а) если прибор обслуживает некоторую заявку, то из накопителя заявки не могут поступить на обслуживающий их прибор; б) если заявка обслужилась прибором, то в прибор поступает следующая заявка и т.д.; в) время, в течение которого заявка обслуживается, определяется как , где – последовательность марковских моментов, которая погружает точечный процесс ,г)после того, как заявка обслужилась, она покидает систему. На рисунке 1 приведена структурная схема системы массового обслуживания
Рис. 1.
( - накопитель, - начальная очередь).
2) Основными задачами теории массового обслуживания являются:
а) математическое описание процессов обслуживания , который указывает, какое количество заявок находится в данный момент времени в системе, т.е. какова длина очереди; б) нахождение распределения вероятностей длины очереди в системе массового обслуживания и ряда других функционалов, заданных траекториях процесса обслуживания.
2.6. Выведем теперь уравнения, описывающие эволюцию во времени распределения вероятностей длины очереди.
Теорема 9. Пусть для любого Р - п. н. Пусть и измеримы интенсивности точечных процессов и , а ,
. Тогда для любого
(9)
Доказательство. Рассмотрим . В силу условий теоремы, имеем
(10)
Заметим теперь, что:
i) . (11)
ii) (12)
Поэтому (10) с учетом (11) и (12) можно переписать в виде:
(13)
Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей равенства (13). Учитывая, что:
i) ,
ii) ,
Имеем
.
В силу теоремы Фубини и того, что мера Лебега одноточечных множеств равна нулю, последнее равенство можно переписать в виде:
(14)
Заметим теперь, что для любого имеем:
i) (15)
,
ii)
. (16)
Поэтому (14) с учетом (15), (16) будет иметь вид (9). Доказательство закончено.
2.7. Следствие 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда для любых и почти всех t существует производная и , удовлетворяет уравнению Колмогорова:
(17)
Доказательство. Из доказательства теоремы 9 следует, что для любого абсолютно непрерывнa относительно меры Лебега. Отсюда, в силу теоремы Радона – Никодима, существует плотность для почти всех t. Отсюда следует утверждение следствия.
2.8. Приведем теперь условия, выполнение которых обеспечивает разре-шимость бесконечной системы уравнений (17).
Теорема 11. Пусть выполняются условия:
i) для любого n и t;
ii) .
Тогда в классе существует единственное решение уравнения (9).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 547 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|