Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Интегрирование методом замены переменной и по частям

Прочитайте:

Метод замены переменной (метод подстановки) – наиболее общий метод, часто применяемый при вычислении интегралов. Им часто приходится пользоваться и для того, чтобы получить табличный интеграл из справочника. Состоит он в том, что при вычислении

(2.1)

вместо переменной х вводится новая переменная t по формуле , причем подбирается так, чтобы после подстановки получилась подынтегральная функция, более удобная для интегрирования. При этом справедлива формула

. (2.2)

Для доказательства этой формулы достаточно вычислить дифференциалы от каждой ее части. Имеем

. Дифференциалы равны, поэтому обе части равенства представляют собой одно и то же семейство первообразных для функции , то есть формула (2.2) имеет место.

Таким образом, для вычисления интеграла (2.1) методом замены переменной нужно не только в функции заменить х на , но и выразить через t и , то есть положить . В результате вычисления получим функцию от переменной t. Чтобы возвратиться к переменной х, достаточно в полученной функции заменить t значением , где – обратная к функция, то есть t найти из уравнения .

Заметим, что формулу (2.2) часто применяют справа налево, то есть записывают ее в виде

, где . (2.3)

Если – первообразная для функции , то есть , то из (2.3) получаем

В частном случае, когда , имеем

откуда

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) = = (полагаем = .

2) .

3) .

Выведем теперь формулу интегрирования по частям. Пусть и – функции, дифференцируемые на некотором промежутке Х. Тогда

откуда

Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что для первообразной является uv, получим

. (2.4)

Формула (2.4) и называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2) = .

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям важно уметь правильно выбирать u и dv. Общий принцип состоит в том, что получающийся интеграл должен быть проще исходного интеграла.

Укажем некоторые классы интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

I. , где – многочлен; нужно положить .