АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология
|
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида , где R, как и раньше, рациональная функция своих аргументов и . Такие интегралы всегда рационализируются с помощью подстановки , которая называется универсальной подстановкой. Действительно,
,
, , . Поэтому − интеграл от рациональной функции. Следовательно, любой интеграл рассматриваемого вида выражается через элементарные функции.
Пример 1. Вычислим интеграл .
Решение. Имеем
.
Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида , на практике она часто приводит к слишком громоздким вычислениям. Во многих случаях проще использовать другие подстановки. В частном случае,
если , то ,
если , то ,
если , то или .
Эти подстановки предпочтительнее универсальной подстановки, поскольку преобразования получаются менее громоздкими.
Для преобразования подынтегрального выражения часто применяются различные тригонометрические формулы. В первую очередь применяют формулы
, .
Примеры. Вычислим интегралы: 2) ; 3) .
Решение. 2) Преобразуем подынтегральное выражение по одной из приведенных выше формул. Получим = .
3) Подынтегральная функция , поэтому нужно сделать подстановку . Имеем = . Для вычисления последнего интеграла подынтегральную функцию представим в виде суммы простых дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов (подынтегральная функция – правильная рациональная дробь):
,
,
. Значит, = = .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 565 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|