АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Интегрирование иррациональных функций

В предыдущем параграфе мы установили, что интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции. Поэтому в дальнейшем при вычислении интегралов от функций других классов мы будем разыскивать такие подстановки , которые данное подынтегральное выражение преобразуют в рациональное относительно новой переменной t. Такой прием называется рационализацией подынтегрального выражения. Вычислив интеграл от полученной рациональной функции и выполнив обратную подстановку, получим выражение первоначального интеграла через элементарные функции.

1. Интегрирование выражений вида .

В дальнейшем условимся буквой R обозначать рациональную функцию своих аргументов. Например, – рациональная функция от х и у. Подставив в вместо у выражение , получим иррациональную функцию от х. Интеграл от нее имеет вид . Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки .

Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, а затем применить указанную выше подстановку. Именно, , где m – общий знаменатель дробей .

2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Дифференциал вида , где а и b – любые постоянные, а показатели m, n и p – рациональные числа, называется биномиальным дифференциалом. Русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) в 1853 году доказал, что интеграл от биномиального дифференциала вычисляется в элементарных функциях только в следующих трех случаях:

а) когда p – целое число;

б) когда – целое число;

в) когда – целое число.

Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не вычисляется в элементарных функциях.

Случай а) является частным случаем предыдущего пункта. Если – общий знаменатель дробей m и n, то рационализация подынтегрального выражения достигается с помощью подстановки .

В случае б) нужно сделать замену , где s – знаменатель дроби p.

В случае в) применяется подстановка , где s – знаменатель дроби p.

3. Интегрирование функций вида Подстановки Эйлера.

Интеграл вида рационализируется с помощью одной из трех подстановок Эйлера (1707-1783).

1 – я подстановка Эйлера. Если , то полагаем .

2 – я подстановка Эйлера. Если , то полагаем .

3 – я подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни и , то, считая , получаем

. Поэтому = , то есть получен интеграл, рассмотренный в 1-ом пункте. Подстановка – 3-я подстановка Эйлера.

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Имеем интеграл, рассмотренный в 3-ем пункте. Поскольку , делаем 2-ю подстановку Эйлера: , , . Поэтому

.

2) Преобразуем подынтегральное выражение: – биномиальный дифференциал с , то есть p – не целое, – не целое, – целое, поэтому делаем 3-ю подстановку Чебышева: и

= .

3) Подкоренные выражения одинаковы, поэтому можно применить подстановку, рассмотренную в 1-ом пункте. Поскольку общий знаменатель дробей и равен 6, делаем постановку , тогда

.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 877 | Нарушение авторских прав