Интегрирование иррациональных функций
В предыдущем параграфе мы установили, что интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции. Поэтому в дальнейшем при вычислении интегралов от функций других классов мы будем разыскивать такие подстановки , которые данное подынтегральное выражение преобразуют в рациональное относительно новой переменной t. Такой прием называется рационализацией подынтегрального выражения. Вычислив интеграл от полученной рациональной функции и выполнив обратную подстановку, получим выражение первоначального интеграла через элементарные функции.
1. Интегрирование выражений вида .
В дальнейшем условимся буквой R обозначать рациональную функцию своих аргументов. Например, – рациональная функция от х и у. Подставив в вместо у выражение , получим иррациональную функцию от х. Интеграл от нее имеет вид . Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки .
Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, а затем применить указанную выше подстановку. Именно, , где m – общий знаменатель дробей .
2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Дифференциал вида , где а и b – любые постоянные, а показатели m, n и p – рациональные числа, называется биномиальным дифференциалом. Русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) в 1853 году доказал, что интеграл от биномиального дифференциала вычисляется в элементарных функциях только в следующих трех случаях:
а) когда p – целое число;
б) когда – целое число;
в) когда – целое число.
Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не вычисляется в элементарных функциях.
Случай а) является частным случаем предыдущего пункта. Если – общий знаменатель дробей m и n, то рационализация подынтегрального выражения достигается с помощью подстановки .
В случае б) нужно сделать замену , где s – знаменатель дроби p.
В случае в) применяется подстановка , где s – знаменатель дроби p.
3. Интегрирование функций вида Подстановки Эйлера.
Интеграл вида рационализируется с помощью одной из трех подстановок Эйлера (1707-1783).
1 – я подстановка Эйлера. Если , то полагаем .
2 – я подстановка Эйлера. Если , то полагаем .
3 – я подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни и , то, считая , получаем
. Поэтому = , то есть получен интеграл, рассмотренный в 1-ом пункте. Подстановка – 3-я подстановка Эйлера.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) Имеем интеграл, рассмотренный в 3-ем пункте. Поскольку , делаем 2-ю подстановку Эйлера: , , . Поэтому
.
2) Преобразуем подынтегральное выражение: – биномиальный дифференциал с , то есть p – не целое, – не целое, – целое, поэтому делаем 3-ю подстановку Чебышева: и
= .
3) Подкоренные выражения одинаковы, поэтому можно применить подстановку, рассмотренную в 1-ом пункте. Поскольку общий знаменатель дробей и равен 6, делаем постановку , тогда
.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 920 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|