Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Интегрирование рациональных функций

Прочитайте:

Всегда ли неопределенный интеграл можно выразить через элементарные функции, то есть через степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций? Производная элементарной функции всегда функция элементарная, для интегралов же это не так. Например, не выражаются через элементарные функции интегралы

и другие.

В дальнейшем нас будут интересовать такие конкретные классы функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Самым важным среди таких классов является класс рациональных функций, то есть функций вида , где и – многочлены. Интегрирование функций этого класса начнем с рассмотрения простейших случаев.

1) Интегрирование простейших рациональных функций (простых дробей).

Простыми дробями называются дроби следующих четырех типов:

I. ; II. ; III. ; IV. , (3.1)

где A, M, N, a, p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так что , откуда .

I. , т.е.

, (3.2)

II. , k = 2, 3, …, то есть

. (3.3)

III. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Положим (это можно сделать, так как ) и . Получим

Таким образом,

. (3.4)

IV. Полагая, как и в предыдущем случае, , , получим

. К последнему интегралу, который обозначим , применим формулу интегрирования по частям:

Отсюда получаем рекуррентную формулу для вычисления :

. (3.5)

Поэтому

где вычисляется по рекуррентной формуле (3.5), .

Пример 1. Вычислим интеграл .

Решение. Имеем , то есть квадратный трехчлен действительных корней не имеет. Выделим полный квадрат: . Положим . Тогда

По формуле (3.5) при и получим . Поскольку

, имеем и

2) Интегрирование правильных дробей.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена (степень числителя меньше степени знаменателя).

Интегрирование правильных дробей основано на следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства (доказательство см., например, в учебнике Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2, гл. VIII, §2, п. 274; возможно доказательство в курсе алгебры):

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Это разложение правильной дроби на простые дроби тесным образом связано с разложением ее знаменателя на простые множители. Из курса алгебры известно, что многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен единственным образом на множители 1-ой и 2-ой степени с действительными коэффициентами. Для простоты будем считать, что старший коэффициент многочлена равен 1. Тогда

, (3.6)

где – действительные корни многочлена , а квадратные трехчлены не имеют действительных корней, и

. (3.7)

Показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от до 1, ,от до 1, от до 1, , от до 1, а – неопределенные коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты, нужно дроби в правой части равенства (3.7) привести к общему знаменателю, которым, очевидно, будет многочлен , затем знаменатели отбросить. Получим равенство двух многочленов: слева – многочлен с известными коэффициентами, справа – многочлен с неизвестными буквенными коэффициентами. Поскольку равенство тождественное относительно х, должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая их, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эта система всегда имеет решение на основании сформулированной выше теоремы. Найдя из этой системы неизвестные коэффициенты и подставив их в равенство (3.7), получим разложение правильной дроби на сумму простых дробей. Таким образом, интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простых дробей в силу равенства (3.7).

Изложенный метод представления правильной дроби в виде суммы простых дробей называется обычно методом неопределенных коэффициентов. Заметим, что неизвестные коэффициенты из равенства многочленов можно находить и иначе, подставляя вместо х конкретные значения. При этом тоже будут получаться линейные относительно неизвестных коэффициентов уравнения. В качестве значений х удобнее всего брать корни знаменателя. При этом почти все члены в правой части равенства обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты. Можно применять также комбинированный способ отыскания неизвестных коэффициентов, при котором уравнения получаются как приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х, так и подстановкой значений х.

Пример 2. Вычислим интеграл .

Решение. На основании формулы (3.7) имеем:

Поэтому .

3. Интегрирование рациональных функций.

Пусть – некоторая рациональная функция. Если эта дробь правильная, то интегрировать ее мы уже умеем. Если эта дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби, разделив на , как говорят, из этой дроби можно выделить целую часть.

Таким образом, интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Интегрирование правильной дроби сводится, как мы видели, к интегрированию простых дробей. Интегралы от простых дробей есть функции элементарные – рациональные функции, арктангенсы и логарифмы. Поэтому интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции – рациональные функции, арктангенсы и логарифмы.

Пример 3. Вычислим интеграл .