АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теоретическое введение. Цель работы: Изучение свободных колебаний физического маятника

Лабораторная работа № 6

Физический маятник

Цель работы: Изучение свободных колебаний физического маятника.

Оборудование: лабораторная установка, электронный секундомер, отвертка.

Теоретическое введение

Рассмотрим колебания физического маятника – любого твердого тела, которое может поворачиваться

вокруг неподвижной горизон- N

тальной оси О под действием

силы тяжести Mg (рис. 1). Ве- O

личина отклонения от положе-

ния равновесия характеризует-

ся углом j отклонения от вер- j

тикали прямой, соединяющей C

точку подвеса О с центром

масс С тела.

Mg

Рис. 1.

По второму закону Ньютона для вращательного движения:

(1)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения, - угловое ускорение (производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени), М_вн – сумма проекций на ось вращения моментов внешних сил.

Относительно оси вращения, проходящей через точку О, момент силы реакции опоры N равен нулю, момент силы тяжести Mg равен:

M = MgаSinj

где а = ОС. Силами трения (сопротивления) пренебрежем.

Тогда, с учетом знака (при отклонении маятника сила тяжести стремится вернуть маятник обратно в положение равновесия), равенство (1) запишется в виде:

Решение этого уравнения получается достаточно простым только в случае малых колебаний (когда j << 1, при этом Sinj» j). В этом случае:

или

(2)

где w_о² = Mgа/I_о.

Легко проверить (проверьте!), что решением уравнения (2) является функция вида:

j(t) = q Sin(w t + j_o) (3)

где w должна быть равна величине w _о:

q и j_o - любые постоянные.

Колебания, описывающиеся функцией вида (3), называются гармоническими. Следовательно, таковыми являются малые (!) колебания физического маятника. Величина q имеет смысл амплитуды колебаний (максимальный угол отклонения от положения равновесия), j_o – начальная фаза колебаний. Период колебаний (время, за которое совершается одно полное колебание) равен периоду функции (3):

(4)

и зависит от момента инерции I_о маятника относительно оси вращения О, массы маятника М, ускорения свободного падения g и расстояния а от точки подвеса О до центра масс С маятника.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (4) для физического маятника, имеющего форму стержня. По стержню может перемещаться легкая опорная призма. Стержень колеблется относительно горизонтальной оси, опираясь нижним ребром призмы на закрепленную на штативе опорную площадку. Фиксируя призму

в различных точках стержня, можно менять

расстояние от оси О качаний маятника до его

центра масс С. Момент инерции I_o стержня дли- О

ной L и массой m относительно оси О (рис. 2) а L

может быть найден с помощью теоремы C

Гюйгенса-Штейнера:

I_o = I_c + ma² = mL²/12 + ma² (5) q

Здесь I_c = mL²/12 - момент инерции однородного

тонкого стержня относительно оси, проходящей

через его центр масс С. Рис.2.

Подставляя (5) в (4), получим формулу для периода малых колебаний стержня:

(6)

Мы ввели обозначения:

(7)

Величина Т_о имеет размерность времени. Она совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной L. Безразмерная величина e = а/L характеризует положение оси подвеса стержня относительно его центра масс.

В этой работе необходимо изучить зависимость периода колебаний Т тонкого однородного стержня от расстояния а от оси подвеса до центра масс.

Результаты измерений удобно изобразить на координатной плоскости

х = e = а/L; у = Т/T_o и сравнить их с зависимостью Т(e), предсказываемой формулой (6). Для тонкого стержня любой длины записанная в безразмерных переменных (х,у) зависимость периода малых колебаний стержня от положения точки подвеса имеет вид

(8)

График этой функции нужно построить по точкам, рассчитав на микрокалькуляторе у(х) для 15-20 значений х, и сравнить его с экспериментально полученной зависимостью Т(e).

Измерения

Формула (2), а, значит, и (4) и (6), справедливы для идеализированной модели физического маятника, а именно: мы считали 1) колебания – малыми, и поэтому их период не зависит от амплитуды (изохронность колебаний) и 2) затуханием можно пренебречь.

Необходимо выяснить, обеспечивается ли выполнение этих предположений в условиях эксперимента.

Легко убедиться, что периоды колебаний стержня при малых (£ 5^о) и больших (³ 30^о) амплитудах отличаются друг от друга. Так как соотношение (4) справедливо только для малых амплитуд, то необходимо выяснить, в пределах каких значений амплитуды период колебаний остается постоянным с заданной степенью точности (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника для различных амплитуд, постепенно увеличивая их от 2-3^о до 10-15^о.

Выясним теперь, как оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Наблюдая колебания маятника, можно убедиться, что их амплитуда постепенно уменьшается. Значит, модель незатухающих колебаний, принятая при выводе формул (2) и (4), строго говоря, не верна. Нетрудно понять качественно, как влияет затухание колебаний на их период: под действием трения движение маятника замедляется, и период его колебаний увеличивается. Вопрос заключается в том, является ли это увеличение периода существенным или им можно пренебречь.

Чтобы получить количественное изменение периода колебаний DТ в результате трения, необходимо выяснить, какие силы трения действуют в данной лабораторной установке. Трение может быть сухим, вязким или более сложным. Выяснение характера трения требует специальной постановки эксперимента и является сложной задачей.

Можно, однако, показать, что при любом типе сил трения (вязком или сухом) их влияние на период колебаний является малым, если только мало само затухание. Например, связанная с вязким трением поправка DТ/Т (Т – период незатухающих колебаний маятника) равна:

DТ/Т = 1/(8p²N²) ~ 1/(100N²)

где N – число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в е» 2,718 раза (т.е. примерно в три раза). Практически при N ~ 10 как в случае вязкого, так и в случае сухого трения, влиянием на период колебаний заведомо можно пренебречь.

Задание

1. Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника (с точностью до 10^-4 с) для 6 – 8 значений амплитуды q в пределах от 2-3^о до 10-15^о. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,5 %; 1 %.

Таблица 1.

2. Оцените влияние затухания на период колебаний. Для этого определите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза. Измерения проведите при трех различных положениях опорной призмы от а @ L/10 до а @ L/2. Если найденные значения N >> 1, то влиянием затухания на период колебаний можно пренебречь.

3. Постройте по точкам график теоретически ожидаемой зависимости периода колебаний стержня от параметра, e = а/L в области значений

0 < e < 0,5. График стройте в координатной плоскости x = e, y = Т/Т_о. Для построения графика найдите с помощью микрокалькулятора значения y(x) по формуле (8) не менее, чем при пятнадцати различных значениях х

в интервале 0 < х < 0,5. Результаты вычислений занесите в табл. 2.

Таблица 2.

4. Проведите экспериментальную проверку соотношений (6) и (8). Для этого, исходя из вида построенного графика, выберите 15 значений параметра e = а/L, для которых целесообразно провести измерение соответствующего им периода колебаний Т(e).

Проведите измерение периода колебаний Т для выбранных значений

e = а/L. При измерениях периода колебаний (особенно в области малых e) следует внимательно следить за тем, чтобы амплитуда колебаний q не выходила из найденного в п. 1 диапазона изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 3.

Таблица 3.

Нанесите полученные экспериментальные точки с учетом погрешностей, с которыми они определены, на ту же координатную плоскость, где был построен теоретически ожидаемый график зависимости y = y(x), и проведите по ним экспериментальный график. Сравните два полученных графика.

Контрольные вопросы.

1. Что называется моментом инерции?

2. Что называется моментом силы?

3. Докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.

4. От чего зависит точность измерения периода колебаний?

5. Что означает следующее утверждение: «В диапазоне амплитуд от 0 до 12^о колебания остаются изохронными с точностью до 0,5%»?

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 642 | Нарушение авторских прав