АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теоретическое введение. Шар, закрепленный на тонкой длинной нити, может кататься на наклонной плоскости, при этом нить закручивается

Шар, закрепленный на тонкой длинной нити, может кататься на наклонной плоскости, при этом нить закручивается. Если шар отвести из

О

O

a a

Da

N A` А D l A`

B B` b B` Dh

b

O`

O`

а) б)

Рис. 1.

положения равновесия (ось ОО`) на угол a и затем отпустить, то он будет колебаться, катаясь около положения равновесия (рис. 1,а). Из-за трения колебания будут постепенно затухать.

Можно надеяться, что по величине затухания колебаний можно определить силу трения и коэффициент трения. Качественно оценить величину затухания можно с помощью несложного опыта. Плоскость установим под углом b = 45^о к горизонту. Отведем шар на угол a = 6^о и подсчитаем число колебаний, за которое амплитуда угла станет равной 4^о. Число колебаний будет примерно от 10 до 15. Таким образом, за 10 колебаний амплитуда уменьшилась на 2^о, а за одно колебание – на 0,2^о = 3,5×10^-2 рад.

Если вместо шара взять кубик из того же материала, что и шар, и с такой же гладкой поверхностью, то амплитуда колебаний уменьшатся на 2^о уже за одно колебание. И это понятно. Шар катится по плоскости, а кубик скользит. Трение качения, конечно, гораздо меньше трения скольжения. Типовое значение коэффициента трения скольжения m ~ 10^-1, а коэффициент трения качения, как мы убедимся на опыте, m ~ 10^-3. Трудно надеяться, что такое малое значение можно достаточно точно измерить с помощью такого опыта, как наш. Но по порядку величины можно определить.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с m. При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость равна нулю; следовательно, и кинетическая энергия также равна нулю. Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.

Пусть точка А – точка поворота (рис. 1,а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью ОО`. Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N, а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В. Это и будет точка поворота. В этой точке угол нити с осью ОО ` будет

a - Da. За половину периода угол поворота маятника уменьшился на Da. Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из А в В.

Найдем связь между потерей угла Da и потерей высоты Dh. Для этого спроецируем точки А и В на ось ОО` (рис. 1,б). Это будут точки А ` и В ` соответственно. Очевидно, что длина отрезка

Dl = А`В` = l cos(a - Da) – l cosa

где l – длина нити, равная радиусу дуги АВ окружности (радиусом шара по сравнению с длиной нити пренебрежем). При этом угол этой дуги равен

2a - Da, а длина дуги Ds = l(2a - Da).

Так как ось ОО` наклонена под углом b к горизонту, то проекция отрезка Dl на вертикальную ось и есть потеря высоты Dh (эта величина отрицательна – конечная высота меньше начальной):

Dh = - Dl sinb = - lsinb(cos(a - Da) - cosa) (1)

При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками А и В

DW = mgDh (2)

где m – масса шара, g – ускорение свободного падения (величина DW также отрицательна).

Вычислим теперь работу силы трения. Так сила трения

F_тр = mN (3)

где m - коэффициент трения, N = mgcosb - сила нормального давления шара на плоскость, то работа силы трения на пути Ds = l(2a - Da) между точками А и В равна

А_тр = - mmgcosb l(2a - Da) (4)

По закону изменению механической энергии DW = А_тр, поэтому из (1), (2) и (4) получаем

mctgb = (cos(a - Da) - cosa)/(2a - Da) (5)

Выражение (5) можно существенно упростить, если учесть, что изменение угла Da очень мало (как мы уже отмечали, оно порядка 10^-2). Так как Da << 1, то cosDa» 1, sinDa» Da и

cos(a - Da) = cosa CosDa + sina sinDa» cosa + Da sina

Поэтому формулу (5) можно записать так:

mctgb = Dasina/(2a - Da)

откуда

(6)

Из формулы (6) видно, что потеря угла за половину периода определяется величиной m и углом a. Однако, можно найти такие условия, при которых Da от угла a не зависит.

Вспомним, что m мало, порядка 10^-3. Если рассматривать достаточно большие амплитуды так, чтобы

sina >> mctgb, (7)

то слагаемым mctgb в знаменателе формулы (6) можно пренебречь и тогда

С другой стороны, пусть углы a будут малыми, т.е. a << 1 и sina» a, тогда за половину колебания потеря угла

(8)

Заметим, что формула (8) справедлива при условиях

mctgb << sina << 1 (9)

Из-за того, что m ~ 10^-3, углы a ~ 10^-2 ¸ 10^-1 рад удовлетворяют неравенствам (9).

Если бы m было порядка 10^-2-10^-1, как в случае трения скольжения, то тогда бы неравенства (9) не выполнялись.

Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет в два раза больше

а за n колебаний потеря угла составляет

,

откуда (10)

Формула (10) дает удобный способ измерения m: необходимо измерить уменьшение угла Da_n за 10-15 колебаний, а затем по формуле (10) вычислить m. Мы знаем, что за 10 колебаний угол уменьшается примерно на 2^о (при b = 45^о). При этих значениях Da₁₀ = 2^o×p /180^o, n = 10 и

m = tg45^o×1/40×3,14/90 ~ 10^-3

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции I_с относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 2). К центру масс

С приложена сила F = F(х), направ-

ленная вдоль оси Х и являющаяся

функцией координаты х. Со стороны C F(x)

поверхности на тело действует сила

трения F_тр. Пусть момент силы трения O X

относительно оси, проходящей через F _Tp

центр С шара, равен М_тр. Уравнения Рис. 2.

движения шара в этом случае имеют

вид

(11)

(12)

где V_c – скорость центра масс, w - угловая скорость. В уравнениях (11) и (12) четыре неизвестных: V_c, w, F_тр и М_тр, поэтому в общем случае задача не определена.

Допустим, что:

1) тело катится без проскальзывания (точка О шара в момент касания с горизонтальной поверхностью относительно нее неподвижна). В этом случае выполняется:

V_c = w R (13)

где R – радиус шара;

2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т.е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь:

M_тр = RF_тр (14)

С учетом (13) и (14) из (11) и (12) получаем, например, выражение для силы трения:

F_тр = F(x)I_c /(I_c + mR²) (15)

Выражение (15) не содержит коэффициента трения m, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость или вид материала, из которого изготовлены шар или плоскость. Этот результат – прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (13) и (14). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (11) на V_c, а уравнение (12) – на w. Учитывая, что

и складывая получившиеся уравнения, имеем:

(16)

где dW(x) = - F(x)dx – изменение потенциальной энергии шара в поле силы F(x). Обратите внимание, что

(17)

Если принять во внимание (13) и (14), то правая часть равенства (16) обращается в нуль. В левой части (16) стоит производная по времени от полной энергии системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения шара mV_c²/2, кинетической энергии вращательного движения I_cw²/2 и потенциальной энергии W(x). Это значит, что полная энергия системы – постоянная величина, т.е. сила трения не совершает работы. Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это говорит о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движения шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (13) и (14) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель – по изменению энергии маятника определить коэффициент трения.

Поступим следующим образом. Будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (14). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим (а потом и убедимся), что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (точка О на рис. 2) шара (скорость роскальзывания )

(18)

Будем считать, что

u << V_c (19)

Тогда, подставляя в уравнение (16) и учитывая условия (14) и (19), приходим к уравнению:

(20)

из которого видно, что скорость уменьшения (диссипации) энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, тело скользит по поверхности со скоростью u, на него действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.

Выполняя в (20) дифференцирование и учитывая (17), получаем уравнение движения центра масс шара:

(21)

Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой

m* = m + I_c /R² (22)

под действием внешней силы F и силы трения качения

F_тр.кач. = F_тр×u/V_c

причем F_тр – обычная сила трения скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. Практически часто реализуется случай, когда трение качения от скорости тела не зависит. Видно, что в этом случае скорость проскальзывания u пропорциональна скорости тела:

u = eV_c

где e - коэффициент пропорциональности. Обычно e << 1.

Сила трения скольжения имеет вид

F_тр = mN

где m - коэффициент трения скольжения, N – сила нормального давления (реакции опоры). Тогда

F_тр.кач. = e mN = m*N

где m* = e m - коэффициент трения качения.

Естественно, что независимость силы трения качения от скорости тела может быть проверена только опытным путем. Если это так, то уравнение движения шара (21) имеет вид:

(23)

причем F_тр.кач. – постоянная величина. Отметим, что такое же уравнение можно получить, если оставить связь (13), но вместо условия (14) взять связь между моментом силы трения и силой трения вида

М_тр = lF_трR (24)

где l< 1 – некоторый постоянный коэффициент. Связь (24) можно интерпретировать так: тело или плоскость несколько деформируются, поэтому плечо силы трения lR намного меньше, чем для случая абсолютно жесткого контакта.

Обратимся теперь конкретно к нашей задаче о движении наклонного маятника. В общем случае вопрос о силе трения качения выходит за рамки чисто механических моделей и требует учета вида деформации поверхности, а также изучения характера взаимодействия в зоне контакта тела и поверхности.

Рассмотрим силы, действующие на шар (рис. 3).

N

F_^ a

b

F_|| F_тр x

mg

b F_в b

T`

F_||

Рис. 3. Рис. 4.

Силу тяжести mg разложим на две составляющие силы, направленные перпендикулярно и параллельно плоскости: F_^ = mgсosb и F_|| = mgsinb. Со стороны наклонной плоскости на шар действует сила реакции опоры N. Так как проекция ускорения на ось, перпендикулярную плоскости, равна нулю, то

N = F_^ = mgcosb.

Силу F_|| (рис. 4) разложим также на две составляющие, направленные вдоль нити и перпендикулярно ей (по оси х): T` = F_|| cosa и F_в = - F_|| sina. Таким образом, проекция возвращающей силы равна:

F_в = - F_|| sina = - mgsinb sina (25)

где a = x /l, х – длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия, знак минус взят потому, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению.

На шар действует сила трения

F_тр = mN = mmgcosb (26)

направление которой зависит от направления скорости проскальзывания u. Если шар движется справа налево (как на рис. 4), то

V_c = dx/dt = d(la)/dt < 0, u = eV_c < 0 и F_тр < 0

При u > 0 F_тр > 0.

Подставляя (25) и (26) в (21), получаем уравнение движения маятника:

(27)

при этом знак «+» берется, когда шар движется справа налево, знак «-» соответствует движению слева направо. Таким образом, уравнение движения (27) – это фактически два уравнения, описывающих движение шара в противоположных направлениях. Чтобы получить решение уравнения (27), необходимо обладать известным терпением и навыком. Именно поэтому мы избрали более наглядный энергетический подход для вывода формулы (10).

Однако уравнение движения дает еще информацию о периоде колебаний и, кроме того, раскрывает физический смысл неравенств (7) и (9).

Пусть вначале мы отклонили маятник на некоторый угол и без толчка отпустили его. Когда шар покатится? Это будет, если da/dt < 0 или, как следует из уравнения (27), при условии

sina > m*ctgb (28)

Обозначим sina_о = m*ctgb. Область углов ½a½< a_о является областью застоя, в этой области сила трения еще способна скомпенсировать возвращающую силу. Таким образом, физический смысл неравенства (7) очевиден, углы должны быть много больше угла застоя a_о, чтобы колебаний было достаточно много и маятник не остался сразу в зоне застоя.

Будем рассматривать малые колебания, когда sina» a, но одновременно m*ctgb = a_о << a << 1. Тогда уравнение (27) можно записать так:

(29)

где - частота колебаний. Для периода колебаний T = 2p/w_o получаем следующее выражение:

T² = T_o²m*/msinb

где .

Так как момент инерции шара массой m и радиуса R равен I_c = 2mR²/5, то

m*/m = 1 + 2/5 = 1,4, поэтому

T² = 1,4T_o²/sinb (30)

Эту зависимость нетрудно проверить экспериментально и убедиться в справедливости принятой модели трения качения.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 375 | Нарушение авторских прав