АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теоретическое введение. Цель работы: Определение момента инерции маятника

Маятник Максвелла

Цель работы: Определение момента инерции маятника.

Оборудование: маятник Максвелла типа ГРМ, комплект колец из трех штук.

Теоретическое введение

Принцип работы основан на основном законе физики – законе сохранения энергии, который говорит, что механическая энергия замкнутой консервативной системы во время движения системы не изменяется. (Замкнутая – значит, нет внешних сил, совершающих работу и увеличивающих или уменьшающих механическую энергию системы; консервативная – нет диссипативных (трения, сопротивления и т.д.) сил, превращающих механическую энергию системы во внутреннюю (тепло)).

Маятник Максвелла представляет

собой массивный диск, ось которого под-

вешена на двух накрученных на нее нитях.

Если маятник опустить, то под его тяжестью

нить будет раскручиваться, и он

начнет совершать возвратно-поступательные

движения в вертикальной плоскости при

одновременном вращении диска вокруг оси.

Движение всякой точки диска можно

представить как поступательное движение

со скоростью V, равной скорости центра

масс, и вращение вокруг геометрической

оси с угловой скоростью w. Полную скорость

любой точки получим, прибавив (векторно) к скорости

V` = w r, обусловленной вращением, скорость

поступательного движения V. В точке, где нить отделяется от оси, эта полная скорость равна нулю. Через эту точку проходит мгновенная ось вращения.

Подсчитаем кинетическую энергию тела, совершающего плоское движение. Если рассматривать движение тела как чистое вращение вокруг мгновенной оси, то элемент массы Dm_i имеет в данный момент линейную скорость V_i = w r_i, где r_i – расстояние от этого элемента до мгновенной оси. Кинетическая энергия отдельного элемента тела будет:

DT_i = Dm_iV_i ²/2 = Dm_iw²r_i²/2

а кинетическая энергия всего тела

(1)

где – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Но по теореме Штейнера I₁ = I_o + mr_o², где r_o – расстояние от мгновенной оси до центра тяжести (в нашем случае – это радиус оси, на которую намотаны нити) и I_o – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести. Поэтому из (1) получим:

Введя в это выражение линейную скорость центра тяжести V = wr, получим

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

По закону сохранения энергии в механике полная энергия Е изолированной системы, в которой действуют только упругие силы и силы всемирного тяготения, есть величина постоянная:

E = T + U = const

где U – потенциальная энергия.

В работе в начальный момент времени маятник находится в верхнем положении и обладает потенциальной энергией U. Кинетическая энергия Т = 0. Когда маятник опустится и пройдет путь h, то потенциальная энергия U₁ = mgh перейдет в кинетическую энергию Т поступательного и вращательного движения Т₂: U₁ = Т₂ или

(2)

Так как w = V/r, где r – радиус оси, на которую намотаны нити, то уравнение (2) принимает вид:

Отсюда:

(3)

Движение маятника равноускоренное, следовательно, можно применить следующие формулы для пути и скорости:

h = V_ot + at²/2

V = V_o + at

В работе начальная скорость V_o = 0, тогда

h = at²/2

V = at

Из этой системы уравнений находим:

V = 2h/t

Подставим полученное значение V в уравнение (3):

(4)

Эту же формулу можно получить другим

способом. На диск массы m действуют сила тяже-

сти mg и натяжений нитей f. Ускорение а центра

тяжести диска определяется уравнением:

ma = mg – f (5)

Ось моментов выберем так, чтобы она про-

ходила через центр тяжести диска (т.е. совпадала

с его геометрической осью О). Момент силы тяже-

сти относительно этой оси равен нулю, а момент

силы натяжения нитей M = f×r, и второй закон Нью-

тона для вращательного движения маятника имеет вид:

I_oe = I_odw/dt = f×r (6)

Из кинетических соображений легко найти связь между линейным ускорением а и угловым ускорением e = dw /dt. Так как центр тяжести опускается как раз на столько, на сколько раскручивается нить, то его перемещение h и угол поворота диска a связаны соотношением h = ar. Дифференцируя это соотношение дважды по времени, получим а = r×dw /dt, и уравнение (6) можно переписать в виде:

(I_o/r)a = f×r (7)

Из уравнения (5) найдем:

f = m(g -a) (8)

Подставив (7) в (8), получим:

Ускорение а найдем из формулы пройденного пути маятника h:

a = 2h/t²

и подставив в уравнение (7), получим

Это выражение аналогично формуле (4). Поскольку диаметр легче измерить, чем радиус, заменим r на 0,5d и получим окончательно такую формулу для I_o:

(9)

Здесь I_o – момент инерции маятника, m – масса маятника, d – диаметр валика, на который наматываются нити, g – ускорение свободного падения, h – расстояние, пройденное центром маятника за время t.

Теперь уточним значение массы m и диаметра d. В данной работе маятник Максвелла представляет собой ось с валиками, на которые плотно насаживается съемное кольцо:

m = m_o + m_к + m_р (10)

m_o – масса оси маятника, m_к – масса кольца, m_р – масса валика (ролика)

d = d_o + 2d_п (11)

где d_o – внешний диаметр оси маятника, d_н – диаметр нити подвески.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 376 | Нарушение авторских прав