АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теоретическое введение. Определение модуля сдвига и кручения

Лабораторная работа № 22

Определение модуля сдвига и кручения

Статическим методом

Теоретическое введение

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то угол кручения по закону Гука оказывается равным φ = СМ, где С - коэффициент, зависящий от вещества проволоки. Модуль кручения f, равный

f=l/C=M/ φ (1)

показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

Модуль сдвига G равен:

G=P/(Sw)=τ /w (2)

где P/S определяет величину касательного усилия на единицу поверхности, a w - угол сдвига (рис. 1), - касательное напряжение на грани кубика.

Рис. 1

Между модулем кручения f и модулем сдвига материала стержня существует простая связь; найдем ее, рассматривая деформации и усилия, возникающие при закручивании стержня.

Пусть стержень диаметром D = 2r и длиной L из материала, модуль сдвига которого равен G, закручен действием момента сил М_З, на угол φ_o, это значит, что основания его повернулись на угол φ_о относительно друг друга.

Прежде всего отметим, что в любом сечении стержня, перпендикулярном к оси, момент внутренних усилий относительно оси стержня равен М_З моменту сил, закручивающих стержень. Действительно, представим себе мысленно отрезанной какую-то часть В закрученного стержня (рис. 2, а). Так как часть В находится в покое, то моменты всех сил, действующих на нее, равны нулю. С одного конца на эту часть действует момент внешних сил М_З, а с другого - момент внутренних усилий M касательных к сечению; величин равна M равна М_З, и противоположна по знаку.

Далее определим, как распределены касательные напряжения в сечении стержня и как они связаны с деформацией. Вырежем из стержня диск достаточно малой высоты ∆I на расстоянии I от неподвижного основания и предположим, что нижнее основание этого диска при закручивании повернулось на угол φ, а верхнее на угол φ + ∆φ. Из этого диска вырежем кольцо с внутренним радиусом г и внешним r+∆r (рис. 2,б) Тогда все кубики, вырезанные из кольца, будут иметь одинаковую деформацию сдвига, на один и тот же угол ∆α. Так как верхнее основание диска поворачивается относительно нижнего на малый угол ∆φ, не деформируясь, то очевидно, что угол сдвига ∆α. будет пропорционален радиусу кольца г. Смещение верхней поверхности кольца относительно нижнего будет равно:

∆α = ∆r∆α = r∆φ.

Поэтому угол сдвига

∆α = r∆φ/∆I

или угол сдвига кольца равен радиусу кольца, умноженному на производную от угла закручивания стержня по его длине ∆φ /∆I.

Теперь определим касательное усилие на поверхности кольца площадью 2πr∆r, напряжение t по формуле (2) равно:

t = G ∆α = G r ∆φ /∆ ,

поэтому усилие на поверхности кольца составляет:

2r∆r = 2π r²G∆φ r/∆I

Момент этого усилия относительно оси стержня равен:

∆M = 2πr²G∆φ ∆r/∆I.

Теперь соберем моменты усилий по поверхности диска и проинтегрируем это уравнение по r:

M = 2πG∆φ/ φ I = π r G∆φ/2∆I (3)

Этот момент должен быть равен моменту, закручивающему стержень М_З, ибо моменты, приложенные к любым двум прилежащим дискам, равны друг другу. Уравнение (3) показывает, что если стержень однороден, то производная угла закручивания стержня ∆φ /∆I постоянна вдоль стержня. Угол закручивания торцевых сечений стержня, находящихся на расстоянии I_о, равен:

φ_o= I_o∆φ/∆I или ∆φ/∆I = φ_o/I_o

Подставив это выражение в формулу (3), получим зависимость угла закручивания стержня φ_o от закручивающего момента M_З, в следующем виде:

M_З = M_O = π r_c4Gφ_o /2I. (4)

Таким образом, сравнивая (4) с (1), находим, что модуль кручения f равен:

f= M r_C G / I. (5)

Отметим, что размерность модулей упругости на растяжение Е и изгиб G одна и та же. В самом деле, размерность модуля Е:

[E]=[Pa /S∆L] =[P/S],

а размерность модуля сдвига:

[G]=[P/SW]=[P/S].

Числовая величина модулей упругости зависит, таким образом, от единиц, в которых измерена сила и площадь. В системе СГС модули упругости выражаются в дин/см², в практической системе в кг/мм² и в системе СИ в Н/м².

Если желают перейти от значения модуля в практической системе к значению модуля в СГС, то, очевидно, значение модуля в практической системе нужно умножить на 9,82*10⁷.

Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим методом. В этом случае измеряется угол закручивания проволоки под действием определенного закручивающего момента.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 514 | Нарушение авторских прав