Методичні вказівки.
Розв’язання задачі. Дано координати вершин піраміди , , , . Візьмемо , тоді координати вершин піраміди будуть такі: , , , .
Побудуємо схематичний малюнок піраміди, не прив’язуючись до системи координат .
1. Довільний вектор можна записати в системі орт за слідуючою формулою: (1)
- проекції вектора на координатні осі , та ; - одиничні вектори, які направлені так, як направлені осі , та . Якщо задані точки та , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:
(2)
Тоді: (3)
Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор : .
Аналогічно, підставляючи в (3) координати точок та , знаходимо вектор :
.
Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор : .
Отже знайдені вектори , , мають такі координати:
.
Якщо вектор задано формулою (1), або (3), то його модуль (довжина) обчислюється за формулою:
Застосовуючи цю формулу, обчислюємо модулі знайдених векторів , , :
2. Так як скалярний добуток двох векторів , дорівнює добутку їх довжин, помноженому на косинус кута мім ними, тобто:
то косинус кута між двома векторами , дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх модулів: (4)
Якщо координати векторів-співмножників відомі , то їх скалярний добуток можна знайти за формулою: (5)
Знаходимо скалярний добуток векторів за формулою (5):
Отже за формулою (4) дістанемо:
3. Проекція вектора на знаходиться за формулою:
звідки
Отже проекція вектора на дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на модуль вектора :
(лін. од.)
4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор :
.
Тоді, виходячи з геометричного змісту модуля векторного добутку двох векторів, величина модуля вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах , а площа грані буде чисельно дорівнювати половині модуля вектора :
Знайдемо векторний добуток векторів :
Таким чином, , а його модуль дорівнює:
.
Отже (кв. од.)
5. Об`єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах чисельно дорівнює абсолютній величині їх мішаного добутку:
.
А об`єм піраміди дорівнює шостій частині від об`єму паралелепіпеда: .
Обчислимо мішаний добуток:
Отже паралелепіпеда дорівнює куб. од., а об’єм піраміди (куб. од.).
Тепер можна знайти висоту піраміди :
, звідки
тому (лін. од.).
Отже висота заданої піраміди дорівнює лін. одиниць.
6. Знайдемо кут нахилу бічного ребра до площини основи .
З трикутника : , тому .
Кут - це кут між векторами і вектором , перпендикулярним до площини основи: , .
.
Знайдемо координати вектора : .
Тоді
7. Кут нахилу площини бічної грані до площини основи буде дорівнювати куту між векторами , що відповідно перпендикулярні до цих площин.
Для знаходження вектора , в площині знайдемо координати двох векторів, що лежать в цій площині:
, .
Тоді Тобто .
Аналогічно,
Значить, .
Тоді за формулою , маємо:
.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 264 | Нарушение авторских прав
|