Механические колебания и волны
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид
где x – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, А – амплитуда, Т – период, φ – начальная фаза,
ν [Гц]=1/Т – частота колебаний,
ω [с-1]=2π/Т – круговая частота.
Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями
Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание,
,где k = 4π2m/T . Здесь Т – период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы F = –kx, где k – жесткость, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.
Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид
Полная энергия
.
Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника:
– пружинного ,
где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,
–математического ,
где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,
–физического ,
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.
Приведенная длина физического маятника находится из условия:
,
обозначения те же, что для физического маятника.
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой
и с начальной фазой, определяемой из уравнения
где А1 и А2 – амплитуды слагаемых колебаний, φ1 и φ2 – их начальные фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид
.Если на материальную точку массой m, кроме упругой силы F = –kx, действует еще сила трения F тр = – r υ, где r – коэффициент трения и υ – скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид x = Ae-δtsin(ωt+φ), где δ [с-1] – коэффициент затухания. При этом δ = r/2m и , где ωо – круговая частота собственных колебаний. Величина æ = δТ, называется логарифмическим декрементом затухания.
Если на материальную точку массой m, колебание которой дано в виде x1 = Ae-δtsinωоt, действует внешняя периодическая сила F = Fosinωt, то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид x 2 = A sin(ω t +φ),
где
Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний ω связана с частотой собственных колебаний ωо и с коэффициентом затухания δ соотношением.
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением
,
где А – амплитуда колеблющихся точек, λ –длина волны. При этом λ=сТ. Две точки, лежащие на луче на расстояниях l1 и l2 от источника колебаний, имеют разность фаз
.
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются соответственно при условиях
Здесь l2 – l1 – разность хода лучей.
Затухающие колебания происходят по закону:
x = A0 e- βt cos(ωt + φ0),
где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:
A = A0 e - βt.
Логарифмическим декрементом затухания называют:
,
где Т – период колебания: .
4. Элементы специальной теории относительности
Длина l тела, движущегося со скоростью υ относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной l0 тела, неподвижного в этой системе, соотношением
,
где β=υ/с, с – скорость распространения света.
Промежуток времени Δτ в системе, движущейся со скоростью υ по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Δτ0 в неподвижной для наблюдателя системе соотношением
Зависимость массы m тела от скорости υ его движения дается уравнением
,
где m0 – масса покоя этого тела.
Зависимость кинетической энергии тела от скорости υ его движения дается уравнением
.Изменение массы системы на Δm соответствует изменению энергии системы на
ΔW=c2 Δm.
Релятивистский закон сложения скоростей для тела, движущегося вдоль оси OX, имеет вид
где υ – скорость движущейся системы отсчета K′, u′ – скорость относительно системы K′,u – скорость относительно неподвижной.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 661 | Нарушение авторских прав
|