Гідродинаміка потоку в трубі
ТЕМА 10. БІОМЕХАНІКА КРОВООБІГУ
Рух крові по судинах з деяким наближенням можна розглядати як рух рідини з певними реологічними властивостями по трубі круглого перерізу. Обмежимося розглядом ламінарного стаціонарного потоку, хоча на деяких ділянках артеріальної системи течія не є ні стаціонарною, ні ламінарною, а пульсуючою. В капілярній системі кровообігу такий підхід взагалі є неприйнятний, оскільки розміри кров'яних клітин є співмірні з діаметром судин.
Рушійна сила течії Fm у достатньо довгому циліндрі радіуса r дорівнює
де DР - перепад тисків.
У стаціонарному потоці ця сила компенсується силою тертя Fmp, яка пропорційна площі бокової поверхні циліндра S6 і градієнту швидкості v'
де , l - довжина труби,
Тоді
У стаціонарному випадку Fm = Fmp. Якщо припустити, що біля поверхні стінок існує безмежно тонкий нерухомий шар рідини, тобто при r=R, v(R)= 0і координата у змінюється усередину труби по радіусу, тобто r=R-y, dr=-dy (рис. 10.1), отримаємо
Після заміни змінних та інтегрування останнього співвідношення отримаємо розподіл швидкості рідини по перерізу труби
(10.1)
Отже, швидкість у трубі розподіляється за параболічним законом (рис. 10.1), причому на осі труби r= 0вона набуває максимального значення v max
(10.2)
або, підставляючи (10.2) в (10.1), отримуємо
(10.3)
Середня за площею поперечного перерізу швидкість v срзнаходиться інтегруванням (10.3) в полярних координатах:
. (10.2)
З урахуванням (10.3) маємо
.
Формула Хагана-Пуазейля зв'язує розхід рідини (об’ємну швидкість) з перепадом тиску. Отримати її можна як добуток середньої швидкості течії на площу перерізу
(10.4)
Об'ємна швидкість рідини в трубі вимірюється в м3/с і є пропорційна четвертому степеню радіуса труби. При збільшенні радіуса труби в 1,2 рази об'ємний розхід рідини збільшиться більш ніж вдвічі при незмінному перепаді тиску.
При протіканні рідини через труби змінного перерізу існує взаємозв'язок між радіусом, швидкістю і тиском (рис. 10.2).
Причому для ньютонівських рідин виконується співвідношення
,
де А - площа перерізу труби.
Крім цього, із закону збереження енергії витікає рівняння Бернуллі (при нехтуванні в'язкістю)
де р 0 - гідростатичний тиск у точці при v = 0.
Для кровоносних судин врахування внутрішнього тиску і його зміни має велике значення, оскільки він призводить до пружної або в'язкопружної деформації стінок e
Нехай на ділянці l під дією тиску рідини Р виникають пружні деформації e, тоді за законом Гука напруження s в стінці труби дорівнюють
де Е – модуль Юнга стінок труби.
Напруження також можна визначити як відношення сили, яка розтягує трубу в радіальному напрямку, до площі поперечного перерізу стінки труби s=l·d, товщина якої дорівнює d
Пронормуємо силу за довжиною труби
тоді
Сила розтягання F 1стінки труби спричиняється тиском Р і залежить від радіуса труби. Визначається вона з рівняння Лапласа
(10.5)
У стаціонарному режимі напруження, спричинені тиском рідини, компенсуються пружними напруженнями
де Ed – жорсткість стінки труби.
Отже, радіальна деформація труби
(10.6)
– пропорційна до внутрішнього тиску і квадрата радіуса труби, але обернено пропорційна до жорсткості стінки труби.
Відносна радіальна деформація, яка визначається напруженням, – пропорційна радіусу труби
(10.6а)
З (10.6) випливає важливий для вивчення кровоносної системи висновок, що при одному і тому ж тискові судини більшого діаметра піддаються більшим деформуючим напруженням у порівнянні з дрібними судинами.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 740 | Нарушение авторских прав
|