АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

• Витгенштейн еще в 30-е годы критически оценивал замысел оснований математики, говоря: «Если в математике как таковой что-то нена-№жно, то и любое основание будет столь же ненадежным» [39, с. 121].

71

Выражая свое отношение к идее подведения под здание математики какого-то особой прочности фундамента, он писал: «Математические проблемы того, что называют основаниями математики, составляют для нас ее основание не в большей степени, чем нарисованная скала — основание нарисованной башни» [41, с.171].

Витгенштейновскую реакцию на драматические коллизии, связанные с обнаружением парадоксов в основаниях, можно передать примерно такими словами: а что, собственно» случилось? Эта установка Витгенштейна уникальна: я не могла бы привести других примеров. В первый момент она может вызвать замешательство перед лицом такой массы свидетельств серьезности и важности факта обнаружения парадоксов в теории множеств. Ну, а в следующий момент позиция Витгенштейна побуждает задуматься над тем, что же, в действительности, случилось? Действительно ли обнаружение парадоксов в теории множеств Г. Кантора есть кризис в основаниях математики как таковой? Ведь несмотря на парадоксы, весь организм математики, занимающий столь значительное место в науке и культуре, не переставал функционировать. Математика продолжала развиваться, а- ее результаты по-прежнему имели широчайшее применение в науке и практике, и доверие к ним никоим образом не было подорвано. Почему же появилось представление о кризисе и сложилось то, что можно назвать «кризисным сознанием»? Объяснение, я думаю, состоит в том, что парадоксы поставили под удар не саму математику, а определенные представления о том, какой она должна быть: некую стихийную и повсеместно распространенную философию математики. Она распространена настолько широко, что уже отождествилась с самой математикой. Ее разделяют и математики, и философы, и те, кто выступает против вмешательства философии в дела науки, и те, кто считает такое вмешательство необходимым.

Рассуждения Витгенштейна можно понять как деятельность по прояснению мыслей носителя такой философии. Примерами и наводящими вопросами он хочет лишить данное воззрение его кажущейся очевидности и убедительности. Занимаясь философией математики, как объясняет сам Витгенштейн, он привлекает внимание к фактам, известным всем (кто только знает математику в школьном объеме), но обычно упускаемым из виду. Их не всегда учитывают вследствие присущего всем нам пиетета перед математикой, ибо речь идет о самых простых и известных фактах, которые кажутся слишком мелкими и незначи-

72

тельными, чтобы вспоминать о них в связи с такими важными проблемами, как основания математики [см. 39]. Будучи философом, говорит Витгенштейн, он может рассуждать о математике потому, что собирается анализировать только те затруднения, которые вытекают из слов повседневного языка, таких как «доказательство», «число», «последовательность», «порядок» и т.п. Такие затруднения можно продемонстрировать на примерах из элементарной математики. Но именно они наиболее навязчивы, и от них труднее всего избавиться.

Но пора, наконец, сказать, каковы же отличительные признаки той стихийной философии математики, которую я хочу представить как главный объект витгенштейновских атак. Согласно ей, математика есть подлинное познание. Она открывает истины. Ее теоремы — это истинные утверждения. Но если это истины, то к чему они относятся; если это познание, то познание чего? Математических объектов и их отношений. То есть здесь присутствует допущение, что математические объекты (типа чисел, множеств, функций, пространств и пр.) существуют независимо от познающих их людей — математиков, задачей которых является верное описание своих объектов.

Когда человек наблюдает за реальными физическими предметами, они воздействуют на его органы чувств, в результате чего у него формируются представления об этих предметах. Точно так же, признав особую математическую реальность — универсум математических объектов, — приходится признать у математиков наличие особой познавательной способности, благодаря которой они постигают эту реальность. Например, И. Кант признавал особую познавательную способность, служащую для восприятия математических объектов. Он учил об априорном созерцании объектов арифметики и геометрии. Стихийная философия математики, контуры которой я пытаюсь набросать, признает, что ученые-математики с помощью какой-то внечувственной познавательной способности типа интуиции (или, быть может, логики) могут наблюдать свойства математических объектов. Так, известный математик Дж. Харди сравнивал математика с наблюдателем, который рас-матривает горный хребет и описывает то, что видит. Если он не может разглядеть чего-то из-за расстояния или тумана, то прибегает к помоги приборов. Для математика роль приборов в подобных случаях играют доказательства. В случае же, когда математический факт мож-¹ усмотреть непосредственно, никакого доказательства не требуется. 5 таком контексте парадоксы начинают восприниматься как свиде-

73

тельства того, что в некоторых случаях — например, когда речь идет о бесконечных совокупностях — математическая познавательная способность «плохо различает» и может ошибаться. Отсюда у математиков возникало чувство страха и неуверенности. Скептические сомнения подрывали веру в обоснованность любых результатов, (коль скоро ненадежна та познавательная способность, которой наделил математиков господь бог).

Витгенштейн пытается устранить подобные скептические сомнения, проанализировав их мотивы и показав их безосновательность. Скептические сомнения тесно связаны с комплексом представлений, которые мы только что описали как стихийную философию математики. С помощью разнообразных примеров и сократических вопросов Витгенштейн наводит на мысль, что скептицизм относительно оснований математики вытекает из такой философии математики, которая слишком доверяется ложным аналогиям, например, аналогиям:

— между математикой и эмпирической наукой;» - между доказательством и экспериментом;

— между конечными и бесконечными совокупностями.

Дата добавления: 2015-11-28 | Просмотры: 393 | Нарушение авторских прав