АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Витгенштейн о противоречиях в основаниях математики

Парадоксы канторовской теории множеств показали, что в математической теории могут быть противоречия. Тот факт, что пока они не обнаружились, не дает никаких гарантий. Скрытое противоречие может выявиться в любой момент, и тогда работа многих математиков окажется напрасной, ибо какой же смысл имеют результаты, полученные в противоречивой системе? Исследования по основаниям математики были направлены на то, чтобы найти гарантии от появления противоречий в будущем. Витгенштейн, как уже говорилось выше, скептически относился к этому замыслу. Он называл страх математиков перед скрытыми противоречиями «суеверным».

Утверждение о существовании «скрытого противоречия», с его точки зрения, бессмысленно, если нет никакого метода обнаружения

противоречий.

Страх математиков перед «скрытым противоречием» объясняется мнением, будто, если в теории выявилось противоречие, то вся работа в ней идет насмарку. Чтобы показать, что это не так, Витгенштейн занимается прояснением понятия противоречия. Под ним можно понимать сам закон недопустимости противоречия или некоторое формальное выражение, например 0~1. Страх перед «скрытым противоречием» — это страх перед нарушением закона. Однако Витгенштейн убеждает, что это совсем не страшно: когда выявляется противоречие между правилами игры, тогда надо просто ввести новое правило, запрещающее ситуацию, в которой приходят в столкновение правила системы. После этого система сохраняется, и работа в ней вовсе не оказывается напрасной. Часто говорят, что работа в противоречивой системе бессмысленна, ибо из противоречия следует все, что угодно. Но у Витгенштейна есть ответ на это: он предлагает ввести правило, запрещающее вывод из противоречия. Противоречие — это значит: дальше нельзя, дальше заблокировано. И мы принимаем решение, как быть. В частности, мы можем принять, что из противоречия следует все, что угодно,

87

например, 2x2 = сколько хотите. Если вести расчеты по такому принципу, то, конечно, могут рушиться мосты, построенные по подобным расчетам. Однако в этом будем виноваты мы и принятая нами стратегия обращения с обнаруживающимися противоречиями, а вовсе не некие «скрытые противоречия» системы. Противоречие, по Витгенштейну, не ведет к выводу ложных утверждений из истинных, потому что оно просто вообще никуда не ведет (в принятой у нас логике). Оно сопоставимо со знаком «стоп». Поэтому его нельзя не заметить, оно не может быть скрытым.

Поэтому можно смело пользоваться математическими системами и видоизменять их, когда обнаружатся противоречия. Это не обесценит шагов, которые были сделаны ранее. Аксиомы математических теорий суть наши правила игры, а вовсе не описания какой-то реальности. Потому-то бессмысленны скептические сомнения в них.

В современной логике активно разрабатываются исчисления, не содержащие принципа, согласно которому из противоречия следует все, что угодно. К критике этого принципа и отказу от него подошли релевантная и паранепротиворечивая логики. Таким образом, логика наших дней подтверждает идеи Витгенштейна. «Когда противоречия появляются, — говорит Витгенштейн, — тогда и наступает время их элиминировать» [39, с.210]. Противоречие можно локализовать, чтобы оно не разрушило всю теорию, хотя в каждом конкретном случае остается сложная проблема, как это сделать.

Что касается поисков такого доказательства непротиворечивости, которое раз и навсегда абсолютно надежно гарантировало бы, что в теории не обнаружатся противоречия, то позиция Витгенштейна состоит в том, что гарантии нет и не может быть, ибо противоречивость не есть свойство, присущее теории самой по себе. Она определяется ла-шим употреблением (теории, системы правил) и тем, какие операции мы осуществляем в ней, а какие — нет. Витгенштейн поясняет свою мысль на примере, который является скорее притчей с определенной моралью. Представим себе, говорит он, тюрьму, построенную с целью не допускать контактов между заключенными. В ней есть сложные коридоры для прогулок, но они должны быть устроены так, чтобы заключенные не могли встретиться. Предположим далее, что эта тюрьма функционирует успешно, и ее заключенные действительно никогда не видели друг друга, хотя могли бы встретиться, если бы во время прогулок по лабиринту коридоров все время поворачивали направо.

88

Но ни один заключенный этого не делает: существует обычай не поступать таким образом. Смысл этого примера сводится к тому, что употребление системы важнее, чем ее строение. На это можно было бы возразить, что существенная разница — между наличием стены и наличием привычки (или обычая) не.сворачивать направо. Стена дает какую-то гарантию, а обычай — нет. Как тут можно получить гарантию против всех нежелательных употреблений? Никак, отвечает Витгенштейн. Причем гарантий не дают ни обычай, ни стена. Если будут перестроены коридоры, нет гарантий, что заключенные не воспользуются для сообщения дымоходами, вентиляцией и пр. Трудно предста- • вить себе предел их изобретательности. Имеет ли смысл задача: найти и предотвратить все возможные, но пока никем не придуманные способы? Нет, утверждает Витгенштейн, задача поиска потенциальных способов общения заключенных, поиска всех «скрытых» противоречий и т.п. не имеет смысла, поскольку нельзя предвидеть все возможные употребления. Ведь они не существуют потенциально в мире идей, а создаются людьми. И пока они не созданы, их нет.

Разбирая далее вопрос о том, почему мы так боимся противоречий, Витгенштейн различает проблему противоречий в описаниях, приказах и проч., и проблему противоречивой логики. Мы стараемся избегать противоречий, потому что не знаем, как вести себя в случае противоречивых описаний, как реагировать на противоречивые приказы или просьбы. Сталкиваясь с подобными явлениями, мы, естественно, испытываем затруднения, ибо для нас противоречие бессмысленно. Более того, представляется, что противоречие должно быть бессмысленным, что это есть некий объективный закон и что логика и математика не могут ничего другого, кроме как этот закон

отразить.

Витгенштейн же стремится дать другое объяснение. Противоречие бессмысленно для нас потому, что правила нашего языкового поведения не предусматривают никакой определенной реакции на противоречивое сообщение или приказания. Но разве это случайно? Мы склонны считать это не случайным, но видеть здесь отражение определенных черт реальности — материальной реальности или универсума логических и математических сущностей. Однако Витгенштейн стремится показать, что подобная черта нашего языка конвенциональна: «Логика без противоречий — это просто особенность нашего использования выражений. Кто-то сказал бы, что если в.исчислении есть противоре-

89

чие, то оно неприменимо. Но это. зависит от того, какое применение вы имеете в виду» [39, с.214].

Сразу поясним, чтобы не возникло неправильного представления, будто Витгенштейн — не владеющий логикой, абсурдный и противоречивый мыслитель, который сам не мог рассуждать строго и всех призывал к путанице и противоречиям. Представлять дело таким образом — значит ничего не понять в проблеме, которую обсуждает Витгенштейн. Он прекрасно владел логикой и не призывал к противоречиям з рассуждениях, ибо правилами нашего языка не предусмотрено определенной реакции на них. Он признавал, что когда противоречие выявляется, его,надо устранить. Но он выступал против того, чтобы переносить эту черту нашего языкового поведения непосредственно на саму реальность. В данном случае, как и во всех других, он учитывает гибкость и сложность реальности, а также непрямой и неоднозначный характер связи между ней и языком.

Витгенштейн пытается очертить сферу того, что относится к нашим способам говорить о реальности. Он последовательно и жестко проводит дихотомию «логического», или «грамматического», т.е. того, что относится к правилам языка, и эмпирического, несущего внеязыковую информацию. В его системе наложено табу на смешение этих двух категорий. Табу должно предотвратить смешение языковых форм и самой реальности.

В 1939 г. витгенштейновские лекции по философии математики посещал Алан Тьюринг, который и вступил с ним в спор по поводу противоречий [см. 39]. Тьюринг заявил, что опасность противоречий выявится, когда противоречивая система начнет применяться. Из-за этого, например, могут обрушиться мосты, сделанные по ее расчетам. Витгенштейн ответил, что, если мосты обрушатся, значит, при расчетах были использованы ошибочные физические законы и ошибочные физические константы, а противоречия тут ни при чем. Это звучит бездоказательно, но заметим, что Витгенштейн здесь фактически прав. Парадоксы в основаниях математики никак не отразились на устойчивости мостов. Более того, как показали классические исследования А. Тар-ского, естественный язык плюс обычная двузначная логика уже образуют противоречивую систему². Тем не менее, из-за этого мосты не обрушиваются. Дело в том, что в инженерных расчетах никто не поль-

' Ибо в естественном языке можно сформулировать «парадокс Лжеца», а обычная двузначная логика содержит правило, что из противоречия следует все что угодно.

90

зуется формулируемым в естественном языке парадоксом Лжеца, чтобы по законам двузначной логики вывести отсюда все, что угодно. Поэтому данное противоречие оказывается безвредным и к катастрофам не приводит. Оно обезврежено принятым употреблением языка. Витгенштейн доказывает, что могли бы существовать и применяться различные логики, арифметики и проч. Логические и математические системы не являются ни отражениями материальной реальности, ни описаниями умопостигаемого мира идей. Они суть наши конструкции. Последнее слово является ключевым для понимания витгенштей-новской «психотерапии» страха перед скрытыми противоречиями. Люди, как правило, понимают, что их конструкции несовершенны и всегда нуждаются в доработке, усовершенствовании. Возможности сбоев заложены в любой человеческой конструкции, будь то космический корабль или теория множеств. Но осознание этого, как правило, не парализует человеческую волю и способность действовать.

Дата добавления: 2015-11-28 | Просмотры: 760 | Нарушение авторских прав