АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Доказательством и экспериментом

Витгенштейн постоянно проводит мысль об отличии математического вычисления или доказательства от проведения эксперимента. Это отличие наглядно проявляется в реакции на неожиданный результат. Если мы проводим математическое вычисление и его результат расходится с тем, что мы можем наблюдать, то делаем вывод, что некорректно не вычисление, а наблюдение. Например, если мы складываем два яблока и еще два яблока и, пересчитав кучку, обнаруживаем, что у нас три яблока, мы не скажем: «Значит, 2 + 2 не всегда равно 4». Мы просто скажем: «Одно яблоко пропало, хотя мы не успели этого заметить». Данный пример показывает фундаментальную разницу между математическими и эмпирическими (экспериментальными) предложениями. Она состоит не в формулировке, не в используемых понятиях, но в употреблении соответствующих предложений. Математические предложения так же не могут опровергаться экспериментами, как и предложение: «В 1 метре 100 сантиметров». 74

Математические предложения¹, как станет видно из дальнейшего, используются как правила для формулировки и проверки эмпирических предложений.

Раз математические предложения не могут опровергаться фактами реальности, значит, они ничего не говорят о ней. Поэтому, утверждает Витгенштейн, математические предложения не могут быть названы предложениями, ибо не могут быть истинными либо ложными. Это — правила. Их неумолимость связана как раз с такой их характеристикой. Мы можем предсказать результаты вычисления (измерения, взвешивания и пр.), потому что, осуществляя эти процедуры, следуем тем правилам, на которых основаны наши предсказания.

Итак, математические теории не описывают какой-либо реальности, соответствие которой делает математические предложения истинными, и потому они не являются предложениями в собственном смысле слова. Просто математические теоремы указывают на допустимые словосочетания. Когда входящий в них термин начинает использоваться за пределами математики, то они дают возможность определить, какие фразы с этим термином осмысленны, а какие — нет. Геометрия не описывает кубы, существующие в реальности, и не является наукой, изучающей и описывающей идеальные кубы. Тогда что же она делает? Она, отвечает Витгенштейн, определяет смысл слова «куб». Она дает правила использования этого слова, показывает, что можно осмысленно сказать о кубе. В самом деле, если нам скажут: «У этого куба оказалось 13, ребер», то мы, не рассматривая его, можем заявить: «Это невозможно. Либо у него 12 ребер, либо это не куб».

Надо обратить особое внимание на случаи, когда одни и те же слова (например, «куб», «число», «прямая») встречаются и в математических теориях, и в эмпирических науках или в обыденном языке. Витгенштейн неоднократно повторяет, что «связь геометрии с предложениями обыденной жизни, в которых речь идет о черточках, границах цветовых пятен, гранях, углах и проч., состоит вовсе не в том, что геометрия говорит о подобных, но только идеальных гранях, углах и проч. Эта связь состоит в отношении предложения к грамматике... Применяемая геометрия есть грамматика высказываний о пространственных предметах» [37, С.319]. Геометрические предложения являются постулатами

¹ В то же время предложение может выглядеть как математическое, но использоваться

Гак экспериментальное. Например, мы затрудняемся в вычислении n + m и вместо этого, кажем, взвешиваем (п + m) кг и полученный результат объявляем суммой n +m. 75

о видах и способах описания фактов и тем самым — предложениями синтаксиса. Аналогично — «арифметические предложения ничего не говорят о числах, но определяют, какие предложения о числах имеют смысл, а какие — нет» [<?9, с.51]1

Витгенштейновская трактовка математических предложений заставляет по-новому посмотреть на значение и функции доказательства. Если считать, что математические теоремы описывают какую-то особую математическую реальность, то доказательство будет играть роль гаранта или обоснования истинности подобного описания. Оно требуется, если утверждение теоремы не очевидно. А для чего служит доказательство, если доказываемое предложение не может быть ни истинным, ни ложным? Оно служит для установления смысла доказываемого предложения. Одновременно оно позволяет формулировать новые языковые правила. Например, доказательство неосуществимости некоторых построений с помощью циркуля и линейки показывает, что известные вещи не являются аналогичными. Так, проблема трисекции угла не аналогична проблеме бисекции угла, а задача построения правильного семиугольника не аналогична задаче построения правильного пятиугольника, ибо последние можно выполнить с помощью циркуля и линейки, а первые — нельзя. Следовательно, об этих задачах нельзя рассуждать одинаковым способом. О диагонали квадрата нельзя говорить так, как о его стороне, и т.д. Подобные результаты противодействуют нашей склонности к обобщению'и проведению аналогий при игнорировании различий.

Математическое предложение не имеет никакого определенного смысла до того, как оно доказано. Пониманию данного обстоятельства, полагает Витгенштейн, мешает ложная аналогия: эксперимент верифицирует истинность физической гипотезы, а доказательство — теоремы. «Ни одно воззрение не сыграло такой роковой для философского понимания роли, как мнение, что доказательство и опыт являются двумя различными, но сравнимыми методами верификации» [37, с.361]. Когда мы убеждаемся, что некоторое эмпирическое предложение истинно (или ложно), это не влияет на его смысл, а просто добавляет какую-то внеязыковую информацию. Совсем по-другому обстоит дело с математическими предложениями. Здесь доказательство влияет на словоупотребление. Мы можем осмысленно говорить о кентаврах и единорогах, даже зная, что их не существует. Но когда мы узнаем, что с помощью циркуля и линейки угол нельзя разделить на три равные

76

части, то фраза: «Я разделил этот угол на три равные части с помощью циркуля и линейки» — будет не ложной, а бессмысленной. Естественная реакция на нее: «Вы что-то путаете или не понимаете

смысла данной задачи».

Следовательно, доказательства влияют на использование языка. Они 'создают новые языковые правила. Так, когда была доказана основная теорема алгебры (что уравнение'степени n имеет в точности n корней), то фактически было создано новое исчисление. Данная теорема может показаться открытием независящей от нас истины об уравнениях, но это было бы иллюзией, ибо теорема зависит от решения математиков и введения символики для комплексных чисел. Однако чтобы обнаружить это, надо посмотреть на доказательство. Оно вписывает данное математическое предложение в систему других предложений и благодаря этому формирует его смысл, которого не может быть вне системы, тем самым превращая предложение в новое языковое правило. Последнее далее как бы складывается в архив языка, подобно эталону метра, хранящемуся в Париже.

Итак, Витгенштейн убеждает нас в том, что математические пред-

|ложения — это не идеализированные описания эмпирической реальности и не образы особой умопостигаемой реальности. Они суть грамматические нормы, управляющие нашими описаниями реальности.

С этим поначалу очень трудно согласиться. В самом деле, ведь реальность упорно подтверждает правила арифметики, алгебры, геометрии и прочих разделов математики. Например, часто ли приходится сталкиваться с ситуацией, когда мы сложим два яблока и еще два и обнаружим, что их у нас не'четыре, а три или пять? Можно ли даже вообразить себе подобное?

Как же мы можем после этого не верить, что в арифметике и геометрии заключается положительное знание о физической реальности, что в них получают выражения фундаментальные свойства устойчивых объектов? Представление, что предложения школьной арифметики и геометрии суть наиболее бесспорная часть физики твердых материальных тел, как бы само собой навязывается нам. Недаром Кант объявил их врожденными формами человеческого восприятия. Так и кажется, что мы не можем не видеть, как окружающие нас предметы подчиняются этим законам. Представить противоположное оказывается невозможным. Как же можно объявить такие законы чем-то вроде лингвистических конвенций?

Чтобы продемонстрировать конвенциональность принятой арифметики, Витгенштейн пытается показать возможность других способов счета или измерения. Он утверждает, например, что можно вообразить себе, что все линейки делаются из эластичного, тянущегося материала. «Но ведь они будут давать ложные результаты!» — так и хочется возразить ему. Однако у Витгенштейна готов ответ: разве есть такая вещь, как «истинная» длина? Длина является результатом выбора определенной единицы и процедуры измерения. Коль скоро они фиксированы, то относительно их становится возможным говорить о правильных или неправильных результатах. Однако говорить так о самих процедурах и единицах измерения бессмысленно. Они могут быть только удобными и неудобными.

Мы склонны объявить эластичные линейки неудобными. Более того, нам кажется, что их неудобство зависит не от наших конвенций, но от устройства самой реальности: Твердые линейки более соответствуют реальности, и это дает нам право говорить, что наша процедура измерения правильна, а придуманная Витгенштейном в данном примере -неправильна. Что он способен ответить на такие возражения? Это, конечно, важно для оценки его философской позиции. Однако за него трудно ответить однозначно. Представляется, что здесь Витгенштейн занимает довольно осторожную позицию. Он и сам иногда апеллирует к подобному доводу; то, что мы придерживаемся именно таких теорий, методов, приемов, играем именно в такие, а не другие «языковые игры», связано с устройством самой реальности. Но ничего более конкретного по этому поводу он не говорит, что не случайно. Для него, в любом конкретном случае остается неопределенным, в устройстве ли реальности дело или в наших привычках, определяемых социально принятыми правилами, согласно которым мы действуем.

В конечном счете реальность остается для Витгенштейна слишком «эластичной», сложной и неуловимой, чтобы можно было говорить, что ей соответствует, а что — нет. Например, он допускает, что эластичные линейки только кажутся нам несоответствующими реальности и неприменимыми. Может быть, законам природы вовсе не противоречит допущение, что существует социум, использующий эластичные и текущие измерительные эталоны. И люди приспособились к этому так же, как и мы приспособились ко многим изменчивым факторам нашей жизни, например к тому, что один и тот же товар имеет разную цену. Конечно, в этом воображаемом обществе будет применяться иная арифметика,

78

разовьются иные наука и культура. Но что можно сказать на основании этого о самой реальности?

Витгенштейн утверждает также, что возможна арифметика, в которой 2 + 2 = 3 или 5. Но она будет неприменима! — воскликнем мы. Она не будет применима тем же способом, каким применяется привычная арифметика, поправит нас Витгенштейн. Но возможно, что она будет применяться по-другому, например при пересчете предметов, которые могут испаряться, сливаться с соседними или, наоборот, раздваиваться. Наша арифметика рассчитана не на такие объекты, а на твердые, четко различимые и устойчивые предметы вроде палочек или кубиков, на которых нас всех учили считать в детстве. Поэтому, если результаты счета вдруг не согласуются с реальностью, мы не подвергаем сомнению арифметику, но заключаем,.что пересчитываемые предметы слишком отличаются от парадигмальных твердых неисчезающих объектов счета. Однако отсюда не следует, что не может быть другого счета и других способов обучения.

Наша процедура счета опирается на определенное расчленение пересчитываемого, на то, как мы выбираем единицу пересчета, определяем различие между одним и двумя. В большинстве случаев мы делаем такой выбор, не задумываясь. Акт выбора не замечается, потому что он уже предопределен нашим обучением и воспитанием, т.е. принятыми в нашей культуре стандартами.

Витгенштейн старается подобрать примеры, когда этот выбор не предопределен и не однозначен, скажем, пересчет разноцветных пятен на поверхности, особенно если у них нет четких граней и цвета переходят один в другой. Или, например, глядя на рисунок, надо ответить, сколько точек нарисовано, 6 или 5?

Ответ зависит от того, как мы будем считать.

Указанием на возможность иного — иных подходов, принципов, арифметик и образов мира — Витгенштейн показывает нам: то, что мы привыкли считать незыблемыми истинами о мире,таковыми не являются. Они зависят от принятого образа действий.

Но разве можно считать совсем по-другому? Дело в том, отвечает

Витгенштейн, что мы не назовем другой образ действий счетом, а не в том, что наша процедура счета является единственно правильным отражением некоей реальности: умопостигаемого универсума чисел и их отношений или «количественного аспекта материальной реальности». Счет является важной частью нашей жизненной активности. Он применяется. Но это, как постоянно подчеркивает Витгенштейн, не дает оснований говорить о его истинности. Поясняя свою мысль, он даже предлагает такой пример: в некотором племени принято осуществлять известные действия, например, начинать (или не начинать) войну в зависимости от результата шахматной партии. Тут шахматы тоже применяются. Но это не изменяет их природы. Шахматные правила суть конвенции.

Но разве одни математические предложения не.следуют из других с логической необходимостью? Разве нет истины, соответствующей логическому выводу? Подобный вопрос Витгенштейн парирует контр вопросом: а с чем мы вступим в противоречие, если сделаем иной вывод? Каким образом, например, мы вступаем в конфликт с истиной, используя эластичные линейки? Конечно, в этом случае будут получаться другие результаты. Но разве есть «истинные» размеры? Конечно, понятия «длины» и «измерения» будут иметь в этом случае другое значение. Однако они всегда использовались так, что обнимали целое семейство случаев.

Для пояснения этой мысли Витгенштейна я приведу такие простые и известные всем примеры. Математики прошлого были убеждены, что результата вычисления 3 — 5 не может быть. Сейчас мы делаем это вычисление и пишем — 2. Подобно этому, математика прошлого считала, что у уравнения х² + I = 0 нет корней, тогда как современная математика утверждает, что у него есть два «мнимых» корня. Выводы, таким образом, изменились. Но где же здесь столкновение с реальностью? Его нет. Есть просто разные исчисления, имеющие разные применения.

Поэтому Витгенштейн с полным правом говорит, что переход от одного математического предложения к другому в ходе математического вывода просто опирается на принятые правила, которые, в принципе, могли бы быть другими. Здесь нет никакой особой, «оккультной», как он выражается, связи между самими предложениями в цепочке вывода. Предложения следуют друг из друга не сами по себе, а потому, что у нас принята система, в которой есть правило, позволяющее осуществлять такой вывод.

Ложная аналогия между математикой и эмпирической наукой приводит к убеждению, что математика сообщает нам.истины о какой-то реальности. Но тогда становится необъяснимым, почему математические предложения неопровержимы. Почему нельзя представить себе опыт или эксперимент, проверяющий,математическую теорему подобно тому, как проверяются научные теории?

Неопровержимость математики составляет главную проблему для философии математики. Она не менее актуальна и для логики. Почему, в самом деле, неопровержим вывод «Если всякий объект обладает свойством А, то и этот данный объект обладает свойством Л»? Мы чувствуем, что здесь есть некая необходимая связь. Мы не можем представить себе, чтобы было по-другому. Витгенштейн объясняет это тем, что мы выучивали значение слова «всякий», переходя от «всякий» к «любому». Данный вывод неопровержим, потому что является частью значения слова «всякий», как мы его выучили.

Витгенштейн рассматривает и такое утверждение: «Белое светлее, чем черное». Оно необходимо. Невозможно даже вообразить себе какой-то опровергающий пример. В то же время оно относится к реальности. Как же можно понять его природу? Как объяснить источник его неопровержимости? Очень просто: мы выучиваем знамения слов «темнее», «светлее», используя различные образцы. Среди них важное место занимают образцы, на которых мы выучиваем значения слов «белое» и «черное». Понятие «светлое» внутренне связано с понятием «белое», ибо мы выучиваем их употребление совместно.

Таким образом Витгенштейн развеивает туман, окутывающий необходимые связи между понятиями и превращающий их в нечто таинственное и непостижимое. За ними не стоит никаких «оккультных» связей. За ними стоят признаваемые нами языковые правила.

Данные рассуждения направлены также на подтверждение той мысли, что математические предложения суть грамматические правила. Их, статус подобен статусу предложения «Белое светлее, чем черное». Осознать это мешает вера в то, что математические предложения, подобно утверждениям опытных наук, суть истины, описывающие реальность.

Аналогия между математикой и опытными науками приводит и к вере в то, что математика описывает определенные объекты. Выше мы говорили об этой черте «стихийной философии математики». Но в начале XX в такая вера подверглась суровому испытанию из-за обнару-

жения парадоксов теории множеств. Ведь противоречивые объекты, с точки зрения математики, не существуют. Однако выяснилось, что теория множеств допускала и множества с противоречивыми свойствами. Значит, она не справлялась с задачей адекватного описания универсума математических объектов, ибо не смогла отличить существующие в нем объекты от таких, которые существовать не могут. Эта ситуация породила различные попытки определения того, что такое математическое существование. Велась активная полемика между формалистами, для которых математическое существование было равносильно непротиворечивости, и интуиционистами, для которых можно было говорить о существовании математического объекта, только если доказательство этого существования предоставляло эффективный способ его построения. Они отвергали все доказательства существования «от противного».

Размышления Витгенштейна приводили его к выводу о неправоте обеих сторон. Неправомерны сами попытки определить, что такое истинное математическое существование. При этом идея о том, что математическим понятиям соответствуют особые абстрактные сущности, вытекает, по утверждению Витгенштейна, из неправильного представления о значении.

Так, стремление дать определение числа вытекает из неправильного представления о том, что такое значение слова. Считается, что существительное должно обозначать какой-то определенный предмет или мысленный образ. В математических рассуждениях, в отличие от обыденных, числа ведут себя как существительные. Если в обыденной жизни мы скажем: «У меня пять я б л о к, у тебя три я б л о к а, у меня больше яблок, чем у тебя», то в арифметике этому будет соответствовать предложение: «5 больше, чем 3». Первое предложение было о яблоках, второе — о числах. Поэтому начинаются поиски того предмета, который соответствует числу и является его значением, подобно тому как значением слова «яблоко» является реальное яблоко. Поскольку ничего подходящего найти не удается, делается вывод, что значениями слов, обозначающих числа, являются абстрактные предметы. Фреге и Рассел предлагают в качестве таковых классы эквивалентных множеств. Но, как объясняет Витгенштейн, данное определение не объясняет природы натуральных чисел. Ибо основной способ установления эквивалентности конечных множеств — это, их пересчет.

Где же искать выход? Как нам понять, что такое число? О чем

82

говорит арифметика? Затруднение, полагает Витгенштейн, объясняется еще и тем, что математика окружена особым ореолом значительности. Поэтому он предлагает начать разговор не о математике, а о шахматах. Попробуем вместо вопроса: «О чем арифметика?» — спросить: «О чем шахматы?»

Что такое шахматная фигура? Очевидно, что не кусочек дерева или слоновой кости, а нечто большее, для чего фигурка выступает только знаком. В то же время мы хорошо понимаем, что она не является знаком какого-то идеального объекта. Шахматная фигура, знаком которой выступает данная фигурка, определяется через ее роль в системе правил шахматной игры. Никакого самостоятельного значения она не имеет. То же самое можно сказать и о любом математическом понятии. Его значение — это его употребление в соответствующей математической теории.

Однако шахматы не имеют применений, а арифметика или геометрия имеют. Поэтому люди относятся к первым и вторым по-разному и не замечают, что проблема их значения решается в данном случае

аналогично.

В том же духе, как мы видели, Витгенштейн трактует и значение математических предложений. Оно определяется их местом в системе утверждений данной математической теории. А последнее устанавливается только благодаря доказательству.

Витгенштейн уделяет много внимания одной ложной языковой аналогии, которая, как он считает', во многом ответственна за мнение, будто математика описывает до нее и независимо от нее существующие объекты. Аналогия связана со словом «искать». Можно искать свою расческу, а можно искать смысл жизни. Возникает много путаницы, когда один вид поиска понимается по аналогии с другим. Тогда и смысл жизни понимается как уже определенная вещь, которая безусловно присутствует где-то рядом, но запропастилась и в нужную минуту не попадается на глаза. Впрочем, данный пример не принадлежит самому Витгенштейну. Он обычно приводил такую ложную аналогию: между поисками решения математической проблемы и поисками Северного полюса полярной экспедицией. Когда экспедиция отправляется в путь, она знает, что представляет собой Северный полюс, где его искать и как. Смысл утверждений о Северном полюсе не зависит от того, удается экспедиции найти его или нет. Когда математик ищет решения своей проблемы, он еще не знает, каким будет то, что он

83

должен найти. Если бы только он это знал, проблема была бы практически решена. Для Витгенштейна это служит верным признаком того, что объект поиска не существует независимо от поиска. Математик не открывает его, но изобретает, конструирует (даже если его конструирование неконструктивно с точки зрения интуицконистрв и конструктивистов).

Математический объект или факт конструируется доказательством, которое включает их в определенную теоретическую систему и тем самым дает им жизнь. Витгенштейн подчеркивает, что доказательство не уточняет старые понятия, но просто создает новые. Доказательство определяет также правила употребления математического утверждения. До доказательства математический объект или факт просто не существуют, подобно тому как шахматные фигуры не существовали до того, как появились правила шахматной игры. А математические теоремы до доказательства — это правила, о которых еще не известно, из какой они игры, т.е. нечто, не обладающее смыслом. Смысл будет создан доказательством. Новые методы доказательства изменяют его.

Парадоксальным следствием витгенштейновских рассуждений оказывается вывод, что доказательство всегда доказывает не то, что собирались доказать. Результат — это осмысленное математическое утверждение, а доказывалось предположение; оно является всего лишь цепочкой символов, вызывающих у математиков определенные ассоциации. Как это ни странно на первый взгляд, я думаю, что, освоившись с витгенштейновской идеей, ее можно счесть очень тонким наблюдением, соответствующим действительности. Математическое предположение, которое еще надо доказать, есть просто некий замысел, сочетание определенных ассоциаций и т.п.

Для Витгенштейна оказывается очень важной мысль, что доказательства бывают разными. Как он разъясняет, слово «доказательство» подобно в этом отношении таким словам, как «народ», «король», «религия». Все доказательства связаны отношением «семейного сходства», но нет общего свойства, которое принадлежало бы всем доказательствам без исключения. Более того, «каждое новое доказательство расширяет в математике понятие доказательства» [38, с.10], «никакая черта доказательства не является несущественной» [38, с.115].

Рассмотрим, например, такой тип доказательств, как доказательства существования. Интуицконисты и конструктивисты утверждали, что

94

последние должны состоять в построении того объекта, существование которого доказывается, иначе они не имеют смысла. Но почему, спрашивает Витгенштейн, доказательства существования должны быть построениями? Откуда подобное должествование? Защитники такого мнения убеждены, что знают, в чем состоит сущность математического существования, и поэтому могут судить, какие из доказательств являются доказательствами существования. Но «если бы была такая вещь, как существование... тогда можно было бы говорить, что каждое доказательство существования должно делать то-то и то-то. Вейль говорит так, как будто у него есть ясная идея существования, независимо от доказательства, как будто какая-то «естественная история доказательств» обнаружила, что только доказательства такого-то вида доказывают существование», однако «каждое доказательство существования отличается от другого и каждая «теорема существования» имеет свой смысл, соответствующий тому, может или не может быть построено то, существование чего доказывается» [38, с. 117]. «В действительности существование — это то, что доказывается теоремами, называемыми теоремами существования» [38, с.374]. Отрицание неконструктивных доказательств опирается на своего рода «натурализм» в понимании математических объектов. Как будто это что-то определенное и независимое от наших теорий и определений; как будто его можно непосредственно узреть, а потом отобрать доказательства, которые доказывают именно существование, а не что-то другое.

Итак, Витгенштейн утверждает, что для понимания любого математического утверждения надо обратиться к'его доказательству. Результаты доказательств или вычислений формулируются в языке как самостоятельные предложения, и это опасная языковая ловушка, способная порождать мифы относительно смысла таких предложений. Поэтому нельзя абсолютизировать формулировку теоремы и рассматривать ее как описание некоторого независимого факта. «Если ты захочешь знать, что означает выражение «непрерывность функции», посмотри на доказательство ее непрерывности; оно покажет тебе, что было доказано» [37, с.369-370]. Но не надо всматриваться для этого в результат, особенно если он переформулирован на языке, отражающем принципы какого-то из направлений в основаниях математики, например, в рас-селовской символике. Тогда мистификация и путаница становятся просто неизбежными. Витгенштейн постоянно подчеркивает, что в математике «средства и результат — это одно и то же. Как только я

85

начинаю различать средства и результат, это уже не математика» [39, с.53].

Витгенштейн показывает, что рассмотрение результата в абстракции от породившего его процесса приводит к фантастическим представлениям в случае, когда результат не имеет самостоятельного физического существования, а существует лишь как элемент определенной системы норм и правил. Тогда реальные связи разрываются и заменяются мистифицированными. Например, отделение математического утверждения от его доказательства приводит к идеалистическим концепциям особых видов бытия и особых сверхчувственных способностей созерцания этого бытия (математическая интуиция). При этом математика начинает пониматься как «физика умопостигаемого мира», а логика, если вспомнить выражение Б. Рассела, — как зоология, описывающая, какие виды сущностей населяют этот умопостигаемый мир идей. Такого рода представления сочетаются обычно с присущим логике и математике стремлением к обобщениям и аналогиям. Вследствие этого установление аналогий или введение обобщений начинает восприниматься как открытие каких-то особых сущностей.

Вот пример обобщения такого рода.

VB.

R Данный чертеж показывает, что прямая AB пересекает окружность/?.

R

В

Что же показывает данный чертеж? Утверждается, что и в этом случае прямая AB пересекает окружность R. Сначала это может произвести ошеломляющее впечатление, настолько оно противоречит тому, что мы видим собственными глазами. Но речь идет о том, что AB пересекает R в бесконечно удаленной точке. Введение этого понятия существенно меняет смысл «пересечения». Мы имеем теперь уже не одно, а два различных понятия.«пересечения», принадлежащих разным системам. Чтобы обнаружить это, надо смотреть на доказательст-

ве

во. Иначе формулировка типа «любая прямая пересекает любую окружность» может показаться открытием какой-то скрытой и поразительной сущности отношения пересечения, о которой мы даже и не могли подозревать вначале.

/ *.

Дата добавления: 2015-11-28 | Просмотры: 357 | Нарушение авторских прав