АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Проблема бесконечности

Проблема бесконечности является едва ли не самой захватывающей и мучительной проблемой философии математики, причем не только для философов, но, как показал кризис в основаниях математики, и для самих математиков. Лекарство от этих мучений -заключается в том, чтобы «подчеркивать различия там, где обычно замечают сходство» [39, с.15]. «Причина того, почему философы сбивают математику с правильного пути, состоит в том, что в логике, в отличие от естественных наук, нельзя заниматься обоснованием общих утверждений частными случаями. Здесь каждый отдельный случай имеет свое значение, но все исчерпывается конкретным случаем, и отсюда нельзя извлечь никакого общего вывода (т.е. просто никакого вывода)» [37, с.369].

Для философской грамматики, утверждает Витгенштейн, нет несущественных различий. Следуя этому принципу, он, например, фиксирует внимание на различиях между периодическими и непериодическими бесконечными дробями. Пытается ли он тем самым выступать против тенденций развития самой математики, стремящейся к единой трактовке всех чисел? Нет, подобная цель ему чужда. Однако он полагает, что такая тенденция может привести в результате к серьезным недоразумениям, если будет сопровождаться укоренением неявного убеждения, что рациональные и иррациональные числа имеют одну и

9/

ту же «природу» и что, например, утверждения о равенстве рациональных и утверждения о равенстве иррациональных чисел имеют один и тот же смысл³.

Затруднения здесь связаны с оборотом «и так далее до бесконечности» и его грамматикой. Когда мы продолжаем «до бесконечности» периодическую дробь, то, едва определив период, уже можем делать предсказания относительно ecefo бесконечного продолжения. Например, мы можем сказать, что в десятичном разложении дроби '/₃ нигде не встретится двойка. Как это возможно? Как нам дано знание того, что произойдет в бесконечности? Неужели мы наделены способностью постигать бесконечный ряд цифр как завершенную совокупность?

Ответ на подобный вопрос нашелся бы без труда, если бы не мешала аналогия с продолжением в бесконечность иррационального числа. Из-за нее мы начинаем представлять себе дело так, как будто речь идет о бесконечности в одном и том же смысле. Тогда наша способность предсказывать, какие цифры будут появляться в бесконечном продолжении периодических дробей, начинает выступать как свидетельство того, что бесконечный процесс является завершенным, и божественный разум может обозреть его целиком в любом случае, а мы — только тогда, когда имеем дело с периодическими дробями. При этом еще не выполненное разложение (например, разложение числа n до стомиллионного знака) рассматривается как уже существующее. Игнорирование специфики различных употреблений выражения «и так далее до бесконечности» способно породить иллюзию, что невычисленные члены бесконечной последовательности уже имеются и подразумеваются.

Вообще говоря, некоторые способы выражений сначала оказываются вредными, но потом их использование нормализуется. Так, в XVIII в. выражение «мнимые числа» многих сбивало с толку, а теперь никто Не обращает на него внимания. Данное наименование стало безопасным, потому что теперь все понимают, что свойства комплексных чисел определяются на основе соответствующих аксиом (соответствующего исчисления), а не путем проникновения в их таинственную «мнимую» сущность.

³ Самый лучший способ убедиться, что о = Ь имеет разный смысл для случаев, когда а и Ь рациональны и когда они иррациональны, — посмотреть на способы проверки равенства в обоих случаях.

92

В настоящее время к ошибочным представлениям может приводить выражение «бесконечное продолжение», хотя эта ошибочность и не отражается на самих математических вычислениях. Однако она вызывает путаные философские представления и заставляет математиков мучиться неразрешимыми и бессмысленными проблемами. Слово «бесконечность» имеет разные употребления, которые не надо путать или отождествлять. Например, сказать, что в бесконечном разложении дроби '/₃ не встретится цифра 2, значит сказать, что ее нет в периоде: и это все содержание данного утверждения. Иррациональные числа являются процессами. Мы не можем сказать, какая цифра стоит на стомиллионном месте в десятичном разложении числа л не потому, что наш разум не может, подобно божественному, обозревать завершенную бесконечную совокупность, а потому, что этого разложения пока еще нет, оно не осуществлено.

В аналогичном ключе Витгенштейн анализирует общие арифметические предложения типа: «Для всякого х. Ах». Он подчеркивает, что грамматика подобных предложений различна в зависимости от того, пробегает ли х по конечным или бесконечным областям. Чтобы убедиться в этом, надо опять-таки обратить внимание на употребление предложения, и прежде всего на способы его проверки: «Прежде чем говорить обо «всех этих объектах» или «совокупности этих объектов», я обязан хорошенько поразмыслить над тем, каким условиям должно удовлетворять в этом случае употребление слов «все» и «совокупность» [37, с.457]. Бытует ложное представление, что процедура проверки общих бесконечных предложений аналогична проверке конечных и состоит в последовательной проверке всех единичных предложений А(1), А(2), А(3)... и т.д. до бесконечности. При этом считается, что проверка бесконечных предложений отличается от проверки конечных только практической невозможностью осуществить бесконечный перебор из-за нехватки времени и бумаги. При этом «то, что называется «логической невозможностью», смешивается с физической невозможностью» [37, с.452]. То есть присутствует представление, что «бесконечное» — это чрезвычайно большое, так что трудность, связанная с проверкой бесконечного числа единичных предложений, в принципе не отличается от затруднения при проверке очень большого, но ограниченного числа высказываний и упирается только в нехватку времени и бумаги.

Игнорирование этого различия укрепляет веру в то, что бесконеч-

93

ное лежит в одном ряду с конечным, только дальше; бесконечное начинается тогда, когда кончается конечное, а это очень-очень далеко. А теперь вспомним упоминавшееся выше сравнение Дж. Харди: математик подобен путешественнику, который наблюдает и описывает горную цепь. Ему просто описать то, что он видит ясно, но с самыми отдаленными вершинами могут возникать затруднения. А тогда, если продолжить сравнение Харди, насколько значительными будут затруднения при описании бесконечно удаленных вершин! Ведь это так далеко! В такой дали, конечно же, наше умственное зрение плохо различает контуры математических фактов и может подвести нас, как это показали парадоксы теории множеств. Парадоксы начинают восприниматься как свидетельство того, что в бесконечности мы «плохо различаем» и можем ошибиться. Отсюда у математиков возникает чувство страха и неуверенности. В связи с этим рассуждения Витгенштейна преследуют терапевтическую цель: внести успокоение.. Для этого он стремится отделить математическое понятие бесконечности от ассоциаций с чем-то предельно большим или крайне удаленным: «Представление о бесконечности как о чем-то огромном производит очень, сильное впечатление на некоторых людей, и их интерес связан именно с такой ассоциацией... Без ассоциации с чем-то огромным никто и внимания не обратил бы на бесконечность» [38, с. 194].

Но «бесконечность вообще не связана с размером» [там же, с.189], она связана с оперированием определенными символами по определенным правилам, и в самом этом оперировании нет ничего бесконечного. Например, вычисление предела функции /(х) при х ->°° есть манипулирование формулами по определенным правилам и не имеет никакого отношения к ассоциациям между <*> и «чем-то огромным».

Математикой, как замечает Витгенштейн, занимаются иногда из-за особого эстетического наслаждения, доставляемого ею. Такое наслаждение сопровождает работу с исчислениями, имеющими определенное практическое значение (применяющимися в физике, инженерных расчетах или других разделах математики). Однако бывает и так, что исчисление вообще строится только ради эстетических переживаний. Тогда это может привести к серьезным искажениям. Возникают ложные интерпретации, имеющие особое очарование. Один пример результата, имеющего «особое очарование», приводился выше, когда рассматривалось утверждение, что любая прямая пересекает любую окружность. Это очарование, как объясняет Витгенштейн, проистекает из

94

некоторого рода головокружения, вызываемого подобными открытиями [39, с. 14 и ел.]. Лекарство от головокружения состоит в том, чтобы не принимать это за открытие. Здесь на самом деле происходит введение нового исчисления, новой системы языковых правил. А видимость головокружительного открытия порождается уподоблением двух различных случаев. Если избежать такого уподобления, то «головокружение», а вместе с ним и «очарование» исчезнет, и останется работа в определенных математических теориях, имеющих определенное практическое значение.

В таком ключе Витгенштейн анализирует и затруднения, связанные с использованием понятия бесконечности. Тут тоже «головокружение» связано с неправомерным уподоблением различных случаев.

Поэтому он подчеркивает; что сама «грамматика», т.е. система правил, регулирующих употребление выражений для конечных и бесконечных совокупностей различна. И это необходимо отразить в адекватном символизме, в котором просто не должно быть возможности для формулировки вопроса, является ли некоторая совокупность конечной или бесконечной. Бесконечность, говорит Витгенштейн, вообще не является количеством. Поэтому грамматика слова «бесконечное» отличается от грамматики слов, обозначающих числа [см. 37].

Замечание Витгенштейна об исчислениях, которые строятся по преимуществу ради получения особых эстетических переживаний, «головокружений», и о таящейся в этом опасности, раскрывает его отношение к теории множеств Г. Кантора и ее поразительным результатам (например, различению бесконечностей различной мощности и установлению того факта, что бесконечности, подобно натуральным числам, можно упорядочить по величине). Витгенштейн выступает не против теории Кантора как некоторого формализма (верный своему принципу, что философия не должна пересматривать существующую математику), а против той ее интерпретации, в которую верил Кантор.

Интерпретации, которые сами математики дают своим символиз-мам, Витгенштейн называл «прозой», и считал, что именно эта «проза» создает концептуальную путаницу и порождает затруднения, требующие философского вмешательства. «Проза» Кантора состояла в том, что он принимал некую онтологическую аналогию между натуральными и трансфинитнымй числами. Для Кантора, трансфинитные числа были реальны точно в том же смысле, что и обычные натуральные. Однако эта «проза» не определяет построенную им систему, ибо у него

95

трансфинитные числа представляют собой бесконечные последовательности следующих друг за другом единиц, т.е. явно принадлежат иной грамматической категории, нежели натуральные числа. Поэтому Кантор просто не имеет права употреблять понятия «больше» и «равно» одновременно и для конечных, и для трансфинитных чисел, ибо они имеют различный смысл в первом и во втором случае. Если отказаться от уподобления двух этих случаев, то исчезает видимая головокружи-тельность результатов Кантора, например, открытие того, что мощность совокупности точек отрезка [О, 1] «равна» мощности совокупности точек квадрата со стороной [О, 1].

Некоторые интерпретаторы, не вдумавшись в рассуждения Витгенштейна, отнесли его к «финитистам». Финитизм — это весьма радикальное направление в основаниях математики, считающее обоснованными и надежными только рассуждения о конечных совокупностях. Оно не имеет_личего общего с установкой Витгенштейна. Он, как мы уже говорили, не учит тому, какое основание математики является достаточно надежным. Он хочет показать ненужность, излишность самих попыток найти для математики какое-то особое основание. Для этого он разрушает определенную философскую доктрину о математике. Он показывает, что известные интерпретации математических теорий совершенно произвольны (например, интерпретации теории Кантора). Но взамен он не предлагает никаких «более правильных» интерпретаций, будь они финитистскими или какими-то еще.

Существует мнение, что разделение труда между математиками и философами таково: математики строят исчисления и доказывают теоремы, а философы дают объяснения смысла их утверждений. Но, как говорит Витгенштейн, он сам не собирается делать этого, ибо не считает, что математические исчисления должны быть окружены, как неким газовым облаком, их интерпретациями и объяснениями. «Я, — говорит Витгенштейн, — буду при случае строить новые интерпретации, но не для того, чтобы выдавать их за правильные, а для того, чтобы показать, что они столь же произвольны, как и прежние интерпретации. Я... буду использовать новый газ, чтобы вытеснить старый» [39, с. 14].

Думаю, что «газ», о котором говорит здесь Витгенштейн, — это та «стихийная философия математики», которую мы описывали в начале данной лекции.

Очищенная от «газового облака» интерпретаций и философских истолкований, математика выглядит у Витгенштейна примерно следую-

96

щим образом. Она есть человеческая конструкция, человеческое изобретение. Она свободна в том смысле, что не детерминируется никакой реальностью — ни материальной, ни идеальной.

По отношению к естественным наукам и повседневным рассуждениям математика является частью — причем существенной — их «грамматики». Она дает правила, которым должны подчиняться осуществляемые в них рассуждения о реальности. Невозможно говорить о соответствии или несоответствии этих правил и реальности, ибо они как раз являются частью того концептуального каркаса, в рамках которого только и можно ставить вопрос о соответствии или несоответствии реальности тех или иных фрагментов человеческого знания.

В то же время деятельность любого математика несвободна в том смысле, что подчиняется принятым математическим правилам, которые носят достаточно жесткий характер. Можно сказать, что для Витгенштейна математика — это оперирование с языковыми символами, подчиняющееся определенным правилам.

Обсуждая проблемы математических теорий, Витгенштейн постоянно употребляет термин Kalkül, который в зависимости от контекста надо понимать как «исчисление» или «вычисление». Вычисление — это манипулирование с математическими формулами по определенным правилам. Поэтому для Витгенштейна любая математическая деятельность выступает как вычисление. Инженер по первоначальному образованию, Витгенштейн постоянно подчеркивает этот операциональный, деятельностный характер математики. «Математика целиком состоит из вычислений», — говорит он [37, с.468]. Математика видится ему как пестрая совокупность разнообразных техник. Поэтому она ничего не описывает. Его концепцию зачастую путают с интуиционизмом или конструктивизмом, что совершенно неверно. Интуиционисты и конструктивисты требуют перестройки математики, чтобы ее понятия и теоремы приобрели конструктивный характер. А Витгенштейн предлагает не реконструировать математику, но по-другому посмотреть на ту, которая у нас есть.

Исследования по основаниям математики мотивировались желанием выяснить природу математики, обосновать ее истинность, подтвердить, что математика есть образец достоверности и основа достоверности научного знания вообще. За всем этим стоит вера в то, что математика— это особая наука, имеющая специфический предмет. Витгенштейн же утверждал: после Эйнштейна ясно, что геометрия есть син-

97

таксис, т.е. система логических правил, формулирующих грамматику описания феноменов. И в «Трактате», и в более поздних заметках Витгенштейн проводил мысль, что математические предложения —это вовсе не тавтологии, а правила, по которым формулируются описания явлений и осуществляется переход от одних описаний к другим. Правила ничего не говорят о мире, они конвенциональны.

Достоверность математических предложений состоит в том, что в них нельзя сомневаться. Не потому, что они имеют абсолютно незыблемое философское обоснование, а потому, что правила — неподходящий объект для сомнения.

Математика есть система правил, она нормативна, и этим объясняется ее природа, а также дается решение «проблемы обоснования». Математика достоверна, ибо не подлежит сомнению. Но ее достоверность имеет совсем иную природу, нежели -достоверность эмпирических наук.

Дата добавления: 2015-11-28 | Просмотры: 483 | Нарушение авторских прав