Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Приравнивая правые части этих выражений, получим

Прочитайте:

Это каноническое уравнение прямой на плоскости.

Частные случаи этого уравнения уже обсуждались, когда рассматривали параметрические уравнения прямой. Когда q ₁ = 0, q ₂ ≠ 0, q (0, q ₂), тогда уравнение x = x ₀ можно рассматривать и как каноническое уравнение. В случае q ₁ ≠ 0, q ₂ = 0, q (q ₁, 0), получаем y = y ₀.

5. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть даны точки А (x_A, y_A) и В (x_B, y_B). Запишем каноническое уравнение. В качестве направляющего вектора прямой (АВ) можно взять вектор с координатами (x_B – x_A, y_B – y_A). В качестве начальной точки можно выбрать любую из точек А или В. Пусть это будет точка А (x_A, y_A):

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Очевидно, что если x_A = x_B = C (C = const), то А (С, y_A), В (С, y_B) и уравнение прямой будет иметь вид: x = C (рис. 25). Если y_A = y_B = C, то уравнение будет: y = C (рис. 26).

6. нормальное уравнение прямой

Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости:

Ax + By + C = 0,

очевидно, что . Разделим уравнение на корень ,

получим уравнение

Знак перед корнем выбираем противоположный знаку С. Учитывая, что (А, В) – координаты нормального вектора n, то деление на приводит нормаль к вектору единичной длины, коллинеарному исходному вектору n. Действительно, пусть

тогда модуль

Пусть φ – угол между вектором единичной длины n ₀ и положительным направлением оси Оx (рис. 27), тогда

Учитывая, что величина всегда отрицательна, обозначим эту дробь (– p), где p > 0, уравнение при этом примет вид:

x cosφ + y sinφ – p = 0.

Геометрический смысл угла φ ясен – это угол между вектором n ₀ и положительным направлением оси Оx, выясним смысл параметра p.

Найдем расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат (рис. 28). Для этого запишем уравнение прямой, проходящей через начало координат, перпендикулярно данной. Очевидно, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор n ₀(cosφ, sinφ), вместо начальной точки точку О (0, 0). Воспользовавшись каноническим уравнением, получим

Решая систему

найдем точку пересечение этих прямых. Из первого уравнения имеем

подставляем во второе уравнение

=> =>

=> .

Решение системы:

Cледовательно, (p cosφ, p sinφ) – точка пересечения прямых. Найдем расстояние от точки пересечения до начала координат, получим

Таким образом, р – это расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат. Уравнение

x cosφ + y sinφ – p = 0

называют нормальным уравнением прямой.

7. уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим общее уравнение прямой Ax + By + C = 0, предположим, что B ≠ 0, тогда

By = – Ax – C => .

Обозначим , для второй дроби было введено обозначение, когда рассматривалась прямая в отрезках, . Получим привычное со средней школы уравнение

y = kx + b,

называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Смысл параметра b был выяснен ранее – это длина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При этом b > 0, если отсекается отрезок в положительной части оси Oy, и b < 0, если отрезок отсекается в отрицательной части оси Oy. Как известно из школьного курса математики, k – это тангенс угла наклона, образованный прямой и положительной частью оси Ox (угол считается от оси Ox против часовой стрелки). Если k > 0, то угол острый, при k < 0 угол тупой (рис. 29, 30).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом можно получить и из канонического уравнения. Пусть прямая задана уравнением

Тогда, выражая y, получаем

q ₂(x – x ₀) = q ₁(y – y ₀) => =>

=> .

Обозначим , , получаем требуемое уравнение

y = kx + b.

8. примеры решения типовых задач

Рассмотрим несколько задач, иллюстрирующих связь и преимущества различных способов задания прямой на плоскости.

Пример1.

Дано: n (3, 2) – нормальный вектор, точка M ₀(–2, 6) – начальная точка (рис. 31). Запишем уравнение прямой, проходящей через точку М ₀, перпендикулярно вектору n.

Пусть точка М (x, y) лежит на прямой, тогда вектор (x + 2, y – 6) перпендикулярен n и, значит, их скалярное произведение равно нулю:

(n, ) = 0,

3(x + 2) + 2(y – 6) = 0,

3 x + 6 + 2 y – 12 = 0,

3 x + 2 y – 6 = 0.

Это общее уравнение прямой.

Перейдем к уравнению в отрезках. Для этого перенесем свободный член в правую часть:

3 x + 2 y = 6.

Разделим уравнение на 6:

Из уравнения в отрезках видно, что отрезки, отсекаемые на осях Ox и Oy, соответственно равны a = 2, b = 3 (рис. 32).

Выразим из общего уравнения 3 x + 2 y – 6 = 0 переменную y, получим

2y = –3x + 6 => .

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k = –3/2 < 0, угол α – тупой, b = 3.

В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор q (–2, 3). Действительно, указанный вектор q (–2, 3) перпендикулярен вектору n (3, 2), т.к. их скалярное произведение равно нулю:

(n, q) = 0 => 3 ∙ (–2) + 2 ∙ 3 = 0,

следовательно, q параллелен прямой (рис. 33).

Запишем каноническое уравнение прямой:

с начальной точкой М ₀(–2, 6) и направляющим вектором q (–2, 3).

Приравняем полученные дроби параметру t, получим

Выражаем переменные x и y:

и ,

получаем уравнения:

или

Это параметрические уравнения прямой.

Заметим, что точки М ₀(–2, 6) и М ₁(4, –3) лежат на прямой. Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

=> .

Преобразовав это уравнение, получим:

–9 x – 18 = 6 y – 36 => 3 x + 2 y – 6 = 0.

Мы получили первоначальное общее уравнение.

Разделим общее уравнение на , придем к уравнению

Это нормальное уравнение прямой, где , и расстояние от начала координат до прямой равно .

Пример 2.

Даны вершины треугольника А (1, 1), В (10, 13), С (13, 6). Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А.

Медиана – прямая, проходящая через точку А и середину противоположной стороны ВС. Найдем середину стороны ВС и обозначим ее А ′:

; .

Получаем А ′(11,5; 9,5). Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки А и А ′:

=> .

Преобразовывая это уравнение, получим:

8,5 x – 8,5 = 10,5 y – 10,5 => 8,5 x – 10,5 y + 2 = 0 =>

=> 17 x – 21 y + 4 = 0.

Это общее уравнение медианы АА ′.

Высота – прямая, проходящая через точку А, перпендикулярно прямой ВС. Запишем уравнение прямой ВС:

=> .

Воспользовавшись свойством пропорции, преобразуем уравнение:

–7 x + 70 = 3 y – 39 => 7 x + 3 y – 109 = 0.

Это общее уравнение прямой ВС.

Записать уравнение прямой, перпендикулярной данной, можно разными способами. Например, можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 1) с направляющим вектором q (7; 3). (В данном случае вектор нормали n прямой ВС можно рассматривать как направляющий вектор высоты).

Каноническое уравнение высоты будет иметь вид:

Перейдем к общему уравнению:

3 x – 3 = 7 y – 7 => 3 x – 7 y + 4 = 0.

Можно было бы получить уравнение высоты, используя уравнение с угловым коэффициентом. Две прямые, заданные уравнениями y = k ₁ x + b ₁ и y = k ₂ x + b ₂ перпендикулярны, если k ₁ ∙ k 2 = –1. Запишем уравнение прямой ВС с угловым коэффициентом:

7 x + 3 y – 109 = 0 => 3 y = –7 x + 109 => .

k ₁ = –7/3, значит, k ₂ = 3/7. Тогда уравнение прямой, перпендикулярной ВС, будет иметь вид

Значение параметра b найдем, подставив в уравнение координаты точки А (1; 1):

=> .

И уравнение приобретет вид .

Найдем уравнение биссектрисы. Пусть D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что | BD |: | DC | = | AB |: | AC |. Найдем длины сторон треугольника:

Следовательно, точка D делит отрезок ВС в отношении и, значит, координаты D будут определяться формулами:

Остается записать уравнение прямой, проходящей через две точки А (1; 1) и :

=> .

Воспользовавшись свойством пропорции, получаем

231 x – 231 = 297 y – 297 => 231 x – 297 y + 66 = 0.

Разделим уравнение на 33, получим

7 x – 9 y + 2 = 0.

Это общее уравнение биссектрисы.

Эту задачу можно было решить, используя формулу для нахождения расстояния d от точки М (x ₁; y ₁) до прямой Ax + By + C = 0:

Биссектрису угла можно рассматривать как прямую, каждая точка которой равноудалена от сторон угла. Найдем уравнение сторон АВ и АС. Для стороны АВ имеем:

=> => 12 x – 12 = 9 y – 9.