Уравнение прямой на плоскости
I.
1. Генерализованная идиопатическая эпилепсия. Первично-генерализованный припадок (абсанс) 2. Вальпроаты, этосуксимиды
II.
1. Последствия черепно-мозговой травмы с эпилептическим синдромом.
2. Симптоматическая локально-обусловленная эпилепсия. 3. Парциальный припадок с вторичной генерализацией; 4. Карбамазепин.
ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
Уравнение прямой на плоскости
1. общее уравнение прямой
Прямая на плоскости задается однозначно, если известен вектор, которому она перпендикулярна и точка, через которую она проходит. Вектор, перпендикулярный прямой, будем называть нормальным вектором, или вектором нормали,и обозначим через n (A, B), где (A, B) – координаты в прямоугольной декартовой системе координат. Точка, через которую проходит данная прямая, называется начальной точкой, обозначим ее M 0(x 0, y 0).
Произвольная точка М (x, y) лежит на прямой в том и только том случае, если вектор перпендикулярен вектору нормали n (рис. 18). В свою очередь тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:
(n, ) = 0.
Учитывая, что вектор имеет координаты (x – x 0, y – y 0), запишем скалярное произведение:
A (x – x 0) + B (y – y 0) = 0.
Преобразуем это равенство
Ax + By – Ax 0 – By 0 = 0,
обозначим через C = – Ax 0 – By 0, получим
Ax + By + C = 0.
Это уравнение есть общее уравнение прямой. Напомним, что (А, В) – координаты нормального вектора.
Рассмотрим частные случаи.
1) А ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (A, B)), тогда уравнение примет вид
Ax + By = 0.
Эта прямая проходит через начало координат (0, 0).
2) А ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 (т. е. вектор нормали n (A, 0)), тогда
Ax + C = 0 или .
Эта прямая параллельна оси Oy (рис. 19).
3) А = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (т. е. вектор нормали n (0, B)), тогда
By + C = 0 или .
Эта прямая параллельна оси Ox (рис. 20).
4) А ≠ 0, B = 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (A, 0)), тогда
Ax = 0 или x = 0.
Это уравнение оси Oy.
5) А = 0, B ≠ 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (0, B)), тогда
By = 0 или y = 0.
Это уравнение оси Ox.
2. уравнение прямой в отрезках
Пусть задано общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0
и C ≠ 0, т.е. прямая не проходит через начало координат. Преобразуем уравнение следующим образом:
Ax + By = – C,
разделим уравнение на (– С), получим
,
перепишем дроби в виде:
;
обозначим и , получим
.
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Установим смысл входящих в уравнение параметров, для этого дадим переменной х значение a, получим
=> => y = 0.
Значит, прямая проходит через точку с координатами (a, 0).
Пусть теперь y = b, уравнение примет вид
=> => x = 0.
Следовательно, прямая проходит через точку (0, b). Полученные точки (a, 0) и (0, b) представляют собой точки пересечения прямой с осями координат. Заметим, что параметры a и b могут быть как положительны, так и отрицательны, независимо друг от друга. Геометрический смысл их заключается в cледующем: a – это отрезок, который прямая отсекает по оси Ox от начала координат, a > 0, если отрезок отсекается в положительной части оси и a < 0 в другом случае; b – это отрезок, который прямая отсекает по оси Oy (рис. 21).
3. векторно-параметрическое и параметрические уравнения
прямой на плоскости
Прямая может быть задана однозначно не только с помощью нормального вектора, т. е. вектора, ей перпендикулярного. Прямая на плоскости задана однозначно, если известен вектор, параллельный прямой и начальная точка. Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой и обозначается q (q 1, q 2).
Произвольная точка М (x, y) лежит на прямой только в том случае, если вектор коллинеарен вектору q, и, следовательно, найдется такое число t, что будет выполняться равенство
= t q.
Обозначим через r (x, y) – радиус-вектор точки М (x, y), через r 0(x 0, y 0) – радиус-вектор точки М 0(x 0, y 0), тогда = r – r 0 и получаем
r – r 0 = t q.
Это векторно-параметрическое уравнение прямой. В полученном уравнении участвуют вектора: q – направляющий вектор, r 0 – радиус-вектор начальной точки, r – радиус-вектор произвольной точки прямой и параметр t. Запишем это уравнение через координаты соответствующих векторов:
r – r 0 = (x – x 0, y – y 0), t q = (q 1 t, q 2 t),
следовательно,
(x – x 0, y – y 0) = (q 1 t, q 2 t).
Приравняем соответствующие координаты:
Получили параметрические уравнения прямой на плоскости, где (q 1, q 2) – координаты направляющего вектора, (x 0, y 0) – координаты начальной точки. Иногда эти уравнения записывают в виде
Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть q 1 = 0, q 2 ≠ 0 (рис. 23), тогда
Учитывая, что t – произвольное число, то у принимает любые значения независимо от х, и прямая задается уравнениями:
2) Пусть q 1 ≠ 0, q 2 = 0 (рис. 24), тогда уравнения принимают вид
и, значит, х – любое и y = y 0.
4. каноническое уравнение прямой на плоскости
Пусть прямая задана своим направляющим вектором q (q 1, q 2) и начальной точкой М 0(x 0, y 0), предположим, что q 1 ≠ 0, q 2 ≠ 0. Из параметрических уравнений прямой вытекает
и ,
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 718 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|