АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Уравнение поверхности второго порядка

Def.1.(old): Пусть - декартова система координат в E³. Уравнение поверхности второго порядка – это ГМТ (геометрическое мест точек) M(x₁,x₂, x₃)ÎE³, координаты которых удовлетворяют уравнению:

(через КФ и ЛФ):

Пусть в E³ задан ОНБ, в котором уравнение поверхности имеет вид

(1) , где КФ – квадратичная форма, а ЛФ – линейная форма, а C – свободный член. Всегда можно найти такой ОНБ , в котором КФ будет иметь вид (диагональный вид), где λ_i – собственный числа матрицы КФ A, а e_i' – собственный вектора матрицы КФ А. Предположим, что (формула замены переменных), тогда выражение (1) переходит в следующее

(2) (преобразование поворота).

I) λ_i¹0. Тогда уравнение (2) можно переписать в виде: (3)

- преобразование параллельного переноса.

1) λ_i – одного знака, тогда (3) => (4)

а) γ₁>0 – эллипсоид

б) γ₁<0 – мнимый эллипсоид

в) γ₁=0 – мнимый конус

2) λ₁<0, λ₂, λ₃>0, тогда (3) => (рассматривает все три случая)

а) γ₁>0 – однополостный гиперболоид

б) γ₁<0 – двуполостный гиперболоид

в) γ₁<0 - конус

II) λ₃=0, λ₁,λ₂¹0. Тогда уравнение (2) можно переписать в виде:

1) b₃'¹0, тогда можно сделать замену: , , (параллельный перенос + отображение). В результате получаем:

а) λ₁,λ₂>0 – эллиптический параболоид.

б) λ₁,λ₂<0 – гиперболический параболоид

2) b₃'=0, тогда можно сделать замену , , . Тогда получаем:

:

а) γ¹0:

1а) λ₁,λ₂>0 – эллиптический цилиндр, ("+" – действительный, "-" – мнимый)

2а) λ₁,λ₂<0 – гиперболический цилиндр.

б) γ=0 – пара пересекающихся плоскостей.

("-" – пара действительных плоскостей, "+" – пара мнимых плоскостей).

III) λ₁¹0, λ₂,λ₃=0. Запишем уравнение (2) в виде:

1) . Замена: , , .

- параболический цилиндр (каноническое уравнение: ).

2) . .

а) γ¹0 – пара параллельных плоскостей.

б) γ=0 – пара совпавших плоскостей.

Дата добавления: 2015-09-18 | Просмотры: 465 | Нарушение авторских прав