АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Доказательство. Возьмем произвольную циклическую последовательность (1), состоящую из всех вершин графа G(рис

Прочитайте:
  1. Доказательство
  2. Доказательство
  3. Доказательство
  4. Доказательство
  5. Доказательство
  6. Доказательство
  7. Доказательство
  8. Доказательство
  9. Доказательство

Возьмем произвольную циклическую последовательность (1), состоящую из всех вершин графа G (рис. 5.21).

 

a 1 a 2 ... an (1)

 

 

Рис. 5.21

Будем говорить, что в последовательности (1) имеется разрыв между вершинами ai и ai+ 1, если (ai, ai+1) Ï U, т.е. если эти вершины не соединяет ребро.

Понятно, что в последовательности (1) может иметься лишь конечное число разрывов.

Покажем, что эту последовательность можно преобразовать в такую циклическую последовательность, которая не содержит разрывов и, следовательно, является циклом Гамильтона в G.

Последнее утверждение является верным, если в (1) нет разрывов.

Предположим, что в (1) имеются разрывы.

Без ограничения общности можно считать, что в (1) имеется разрыв между вершинами a 1и a 2. В противном случае следует по-другому определить начало этой циклической последовательности.

Покажем, что среди остальных вершин последовательности (1) найдутся такие две последовательно идущие вершины ai и ai+ 1, что (a 1, ai) U и (a 2, ai+ 1) U.

Так как вершины a 1 и a 2 не являются соседними, то вершины, соседние с a 1 или a 2, содержатся среди n - 2 вершин последовательности:

a3,..., an (2)

Предположим, что в (2) нет двух последовательно идущих

вершин, первая из которых является соседней с a 1, а вторая - соседней с a 2.

В последовательности (2) содержится не менее чем
d (a 1) - 1 вершин, не соседних с a 2. Это следует из того, что после всякой вершины в (2), соседней с вершиной a 1, следует вершина, которая не является соседней с a 2.

Среди элементов последовательности (2), отличных от an, содержится не менее чем d (a 1) - 1 вершин, соседних с a 1 и после каждой такой вершины расположена вершина, не соседняя с вершиной a 2.

Поскольку вершины a 1 и a 2 также не являются соседними с вершиной a 2, то общее число вершин графа G, не соседних с a 2, не менее d (a 1) + 1.

Всякая вершина в G либо является соседней с a 2 либо не является соседней с a 2. Поэтому общее число вершин графа G должно удовлетворять неравенству

n d (a 1) + d (a 2) + 1.

Последнее неравенство противоречит условиям теоремы, из которых следует, что d (a 1) + d (a 2) ³ n.

Следовательно, в последовательности (1) имеется пара соседних вершин ai и ai+ 1, для которых (a 1, ai) U и (a2, a i+ 1) U.

Воспользуемся доказанным свойством вершин a 1 и a2 и переставим вершины в (1) так, как это указано на рис. 5.22.:

 
 


a 1 a 2 .. ai ai + 1 ... an (3)

 

 

Рис. 5.22

В результате данного преобразования образуется новая циклическая последовательность, содержащая все вершины графа G, в которой меньше разрывов, чем в исходной последовательности (1).

Будем повторять описанное преобразование до тех пор, пока в получаемых циклических последовательностях имеются разрывы.

Через конечное число шагов из последовательности (1) будет получена циклическая последовательность вершин, не содержащая разрывов. Она образует цикл Гамильтона в графе G.


Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 430 | Нарушение авторских прав







При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.004 сек.)