Теоретическое введение. Равноускоренного движения
Изучение законов
Равноускоренного движения
Цель работы: Изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка роли трения как источника систематической погрешности при определении ускорения на лабораторной установке.
Оборудование: установка «машина Атвуда», набор грузов, электронный секундомер.
Теоретическое введение
Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем с помощью формулы h = gt2/2 вычислить g.
В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время t падения с высоты h = 1,0 м при g = 9,8 м/с2:
По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для t1 = 0,44 c; t2 = 0,45 c; t3 = =0,46 c по формуле g = 2h/t2:
g1 = 2× 1,0/(0,44)2 = 10,330578» 10,3 (м/с2);
g2 = 2× 1,0/(0,45)2 = 9,8765431» 9,9 (м/с2);
g3 = 2× 1,0/(0,46)2 = 9,4517956» 9,4 (м/с2);
Понятно, что измерить время с точностью до 0,01 с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.
Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Например, с высоты 20 м тело падает около 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, чем 0,01 с, но возникает ошибка другого характера. Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула h = gt2/2 описывает равноускоренное движение с ускорением g и, конечно, не учитывает сопротивление воздуха. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула h = gt2/2 становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h» 500 м, то примерно первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с), и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью V» 70 м/с. В этом случае формула h = gt2/2 становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени t, но и с тем, можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами, достаточно точно или нет, описывает формула h = gt2/2 движение тела.
Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула
h = gt2/2 не точна.
Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда (рис. 1).
Через блок перекинута нить, на
которой закреплены грузы массой
М каждый. На один из грузов кла-
дется перегрузок массой m. Уско –
рение грузов легко найти, если а1 Т1 Т2
ввести три предположения (выбрать
модель!):
1) блок и нить невесомы, т.е. их мас- a2
сы равны нулю (точнее, их массы
много меньше массы грузов); Mg (M+m)g
2) трением тела о воздух и трением
между блоком и его осью можно пренебречь; Рис. 1.
3) растяжением нити можно пренебречь по сравнению с ее длиной.
С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид:
Mg – T = - Ma
(1)
(M + m)g – T = (M + m)a
где Т = Т1 = Т2 – сила натяжения нити, а = а1 = а2 - ускорение грузов. Из уравнений (1) получаем:
a = g×m /(2M + m) = g×e /(1 + e) (2)
где e = m/(2M).
При равноускоренном движении без начальной скорости высота h, на которую опускается груз за время t, равна:
h = at2/2
откуда (3)
Формально из выражения (3) следует, что время движения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшать e. Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то e = 10-4, а время спуска груза с высоты h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт неосуществим. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно им пренебречь или нет.
Если подвесить к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, надо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.
Сделаем теперь количественные оценки. Пусть mo – масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения Мтр в оси блока:
(T2 – T1 )R = mo gR = Mтр (4)
где Т2 = (M+m)g и T1 = Mg – силы натяжения нитей, R – радиус блока (рис.2).
Момент силы трения в оси блока Мтр = Fтрr, где Fтр – сила трения между
блоком и осью, r – радиус оси.
Сила трения Fтр между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда:
N = T1 + T2 = (2M + mo)g
Fтр = mN = m(2M + mo)g
где m - коэффициент трения между Fтр
блоком и осью, зависящий от свойств r R
соприкасающихся поверхностей втул-
ки блока и оси, смазки и т.п. Таким
образом, момент силы трения в оси T1 T2
блока
Mтр = (2M + mo)gmr (5)
Обозначим eо = mo/(2M). Подставим M mo
(5) в (4): M
eo /(1 + eo) = mr/R (6) Рис.2.
Как видно из (6), значение eо не может быть сколь угодно малым. Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и r) и коэффициентом трения между блоком и осью.
Так как в машине Атвуда mo << М, то eо << 1 и eо» mr/R.
Какое же значение eо можно ожидать? Типичное значение коэффициента трения m ~ 10-2 ¸ 10-1. Таким образом, eо ~ 10-4 ¸ 10-2. Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть eо. Существенно то, что eо можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М = 86 г перегрузок массой 1 г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что
6×10-3 < eo = m0 /(2M) < 1,2×10-2
В таком случае оценить eо, характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10-2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка m >> mo.
Действительно, если масса перегрузка чуть больше mo, то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение уже не будет равноускоренным. Может даже случиться, что система будет двигаться рывками, т.е. останавливаться, затем снова придет в движение и т.д.
Таким образом, при m @ mo, т.е. при e @ eо, формула (2) становится неверной. Можно ожидать, что при e >> eо она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как eо @ 10-2, то оптимальное значение e ~ 10-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5 – 20 г (при М = 86 г). Если взять e ~ 1, то а ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.
Можно показать (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна
Dа/аср @ mo /m + mбл /(2M) (7)
где mбл – масса блока.
Так как величины mo /m и mбл /(2M) одного и того же порядка 10-1, то и относительная погрешность при измерении ускорения Dа/аср ~ 10-1. Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 415 | Нарушение авторских прав
|