Теоретическое введение. Цель работы: Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Крутильный маятник
Цель работы: Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Оборудование: лабораторная установка, электронный секундомер.
Материал для изучения:
Момент инерции.
Оценка погрешностей измерений.
Теоретическое введение
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:
I = mr2
Если тело не является материальной точкой, то моментом инерции тела будет сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит тело:
Момент инерции – мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – меры инертности тела при поступательном движении).
В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кг×м2, зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела, а также от того, относительно какой оси вращения вычисляется момент инерции.
В работе проверяется соотношение
I(n) = Ixcos2a + Iycos2b + Izcos2j (1)
для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический центр тела (рис. 1).
Z z n
j
c a b y
y O
a x
x
Рис. 1. Рис. 2.
Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором n
n = {cosa, cosb, cosj}
n2 = cos2a + cos2b + cos2j = 1 (2)
где a, b и j - углы между направлениями вектора n и осями координат ОХ, ОУ и ОZ (рис. 2), применяется метод крутильных колебаний.
Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний равен
(3)
где Iм – момент инерции маятника относительно выбранной оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.
Момент инерции маятника равен сумме момента инерции Io рамки и момента инерции I исследуемого тела: Iм = Io + I. Поэтому период колебаний маятника
(4)
Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен
(5)
Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим:
I = Io(T2 – To2) / To2 (6)
Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции Io свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний То и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I, зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде
I(n) = Io(T2(n) – To2) / To2 (7)
где n – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор n направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, т.е. I(n), изменяют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 3).
Направив оси ОХ, ОУ и ОZ n
вдоль главных осей тела, мы
выбрали систему координат Y
ОХУZ, жестко связанную с Z
телом. Поворачивая тело, мы
изменяем направления вектора
n в жестко связанной с телом O
системе координат ОХУZ.
Закрепим тело в рамке
так, чтобы ось вращения n сов-
падала с какой-либо его главной X
осью ОХ, ОУ или ОZ. Тогда из
(7) получим: Рис. 3.
Ix = Io(Tx2 – To2) / To2, Iy = Io(Ty2 – To2) / To2, Iz = Io(Tz2 – To2) / To2 (8)
где Tx, Tу и Tz – соответственно, периоды колебаний маятника, когда ось его вращения n совпадает с одной из главных осей ОХ, ОУ или ОZ.
Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим:
T 2(n) = Tx2cos2a + Ty2cos2b + Tz2cos2j (9)
Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Tx, Tу и Tz относительно его осей симметрии ОХ, ОУ и ОZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами (cosa, cosb, cosj).
Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N ³ 10 (подробнее см. описание работы № 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 281 | Нарушение авторских прав
|