АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Елементи теорії ймовірності

В оточуючому нас світі в кожний момент часу відбувається багато різних подій (явищ, процесів). Події можна класифікувати на достовірні, випадкові і неможливі.

Достовірні - це такі події, які за певних умов завжди відбуваються.

Випадковими називають події, що можуть відбутися або не відбутися за певних умов.

Неможливими називаються події, котрі за певних умов ніколи не відбудуться.

Виконання певних умов, достатніх для реалізації події в кожному з перерахованих вище випадків, називають випробовуванням.

Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає закономірності, притаманні для випадкових подій масового характеру.

Масовими вважаються події, які внаслідок випробовувань можуть трапитися необмежену кількість разів. Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття ймовірності.

Ймовірність випадкової події - це кількісна міра можливості або неможливості її появи під час випробовування. Ймовірність можна визначити теоретично (тобто до досліду).

До такого класу випадкових подій належать події, які мають такі властивості:

- утворюють повну групу подій, тобто в кожному досліді одна і тільки одна з цих подій обов'язково відбудеться;

- є несумісними, тобто поява у досліді однієї з них виключає можливість появи іншої з тих, що залишилися;

- є рівноможливими, тобто можливість появи кожної з них у досліді однакова.

Отже, ймовірністю випадкової події А, котра може відбутися внаслідок досліду з повною групою рівноможливих і несумісних подій, називається величина, що дорівнює відношенню кількості випадків (m), що сприяють появі такої події, до загальної кількості (n) всіх можливих випадків:

Р(А)=m/n

Приклад: У деякому регіоні серед 100000 випадків захворювань інфаркт міокарда трапляється в середньому 30 разів. Визначити ймовірність захворювання на інфаркт міокарда в цьому регіоні.

Р(А)=m/n=30/100000=0,0003

Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події А за умови, що подія В вже відбулась. Вона позначається так: P(A/B).

Приклад: Серед 100 історій хвороб з перевіреним діагнозом «пневмонія» (подія В) симптом підвищення температури (подія А) трапляється 98 разів. Визначити ймовірність даного симптому при даному захворюванні. Таким чином, умовна ймовірність події А при діагнозі В дорівнює

Р(А/В)= 98/100=0,98

Введемо поняття суми та добутку ймовірностей випадкових подій.

Сумою ймовірностей подій А, В називається ймовірність події «А або В», яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

Приклад: 3 двох гармат були здійснені постріли по мішені. Нехай подія А попадання в ціль пострілом з першої гармати, а подія В пострілом з другої гармати. Тоді подія «А або В» - попадання в ціль пострілом з першої або другої гармати.

Добутком ймовірностей подій А, В називається подія «А і В», яка полягає в одночасній появі обох цих подій.

Приклад: Використовуючи умову попереднього прикладу, можна сказати, що подією «А і В» є попадання в ціль пострілами з обох гармат.

Події А і В вважаються незалежними, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи не відбулась подія В. Інакше події А і В вважаються залежними.

Сумісні - це такі події А, В, С,..., спільна поява яких під час випробовування можлива.

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій: ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

Р(А і В)=Р(А)*Р(В)

Приклад: Визначити ймовірність того, що у разі підкидання двох монет випадуть два «орли» («решки»):

Р(А і В)=Р(А) * Р(В)=1/2*1/2=1/4

Теорема множення ймовірностей для залежних подій:

ймовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої.

Р(А і В)=Р(А) * Р(В/А)

Приклад: Студент прийшов на екзамен, знаючи відповіді тільки на 20 із 25 питань. Екзаменатор задав студенту два запитання. Визначити ймовірність того, що студент відповість на ці запитання:

20 · 19

Р(А і В)= =0,63

25 · 24

Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій: ймовірність появи однієї з несумісних подій дорівнює сумі їхніх ймовірностей:

Р(А або В)=Р(А) + Р(В)

Приклад: Визначити ймовірність появи цифри 1 або 2 у разі підкидання грального кубика.

Р(А або В)= Р(1)+Р(2)=1/6+1/6=1/3

Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій: ймовірність появи однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі їхніх ймовірностей мінус ймовірність їх спільної появи:

Р(А або В)=Р(А) + Р(В) - Р(А і В)

Приклад: Ймовірність лейкоцитозу при перитоніті 0,83 (подія А), а симптому прискорення дихання - 0,07 (подія В). Визначити ймовірність того, що під час обстеження хворого на перитоніт у нього знайдуть симптом лейкоцитозу або прискорення дихання:

Р(А або В)=0,83 + 0,07 - (0,83 * 0,07) = 0,842

Формула Байєса (формула гіпотез)

Нехай подія А може здійснитися лише за умови появи однієї з несумісних подій В₁ В₂,..., В_n. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій трапиться, їх називають гіпотезами. Припустимо, що нам відомі ймовірності гіпотез Р(В) та умовні ймовірності Р(А/В). Формула Байєса визначає умовну ймовірність гіпотези В за умови, що подія А відбулась:

Формула Байєса використовується при діагностиці захворювань.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 872 | Нарушение авторских прав