АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Представление рядом Фурье периодических и непериодических функций

VI. Основы спектрального анализа

Любая ограниченная периодическая функция Y (t) периода T

Y (t)= Y (t+kT), где k=1, 2, 3,… (6.1)

может быть разложена в ряд Фурье, т.е. представлена в виде

, (6.2)

где , k =1, 2, 3,…

Таким образом, периодическая функция описывается суммой синусоид и косинусоид, частоты которых меняются дискретно с шагом

. (6.3)

Амплитуды синусоид и косинусоид определяются в соответствии с соотношением

, (6.4)

, (6.5)

постоянная составляющая (среднее значение за период) равна

. (6.6)

Набор амплитуд синусоидальных и косинусоидальных гармоник в функции их дискретных частот называется синусно-косинусым линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y (t).

, (6.7)

,

,

,

где A_k – амплитуда и θ_k – фаза k – й гармоники. Набор амплитуд и фаз гармоник в функции их дискретных частот называется соответственно амплитудным и фазовым линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y (t).

Приведенные выше формулы удобно преобразовать и представить в комплексной форме

, (6.8)

,

. (6.9)

При этом комплексные амплитуды гармоник S_k связаны с введенными ранее амплитудами и фазами следующим соотношением

.

Набор комплексных амплитуд гармоник в функции их дискретных частот называется комплексным линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y (t),

Заключение:

1. Периодическая функция взаимнооднозначно представляется линейчатым спектром Фурье. Справедливо и обратное — функция, имеющая линейчатый спектр, периодична.

2. Шаг по частоте линейчатого спектра периодической функции равен величине, обратной периоду 1/ T. Самая низкая частота в линейчатом спектре (за исключением нулевой—частоты постоянной составляющей) также равна 1/ T, частоты всех представляющих функцию гармоник кратны 1/ T.

Дата добавления: 2015-10-11 | Просмотры: 407 | Нарушение авторских прав