АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Важным свойством спектральной плотности является ее связь с ковариационной функцией

, (6.41)

. (6.42)

Поскольку R_y(τ) — четная функция, S_y(ω) также оказывается четной и равенства (6.41) и (6.42) представимы в виде прямого и обратного косинус-преобразования Фурье

, (6.43)

. (6.44)

Здесь использовалась формула

.

Полагая в (44) τ = 0, получаем равенство

, (6.45)

показывающее, что функция S_y(ω) дает разложение дисперсии процесса по различным точкам оси частот.

Так как выполнено (6.45), то S_y(ω) —неотрицательная функция аргумента ω (свойство положительной определенности спектра).

Основная трудность разработки схем оценивания спектральной плотности с помощью реализации Y(t), заданной на конечном интервале [0, Т], заключается в следующем.

Формулы оценок среднего и ковариационной функции были записаны по аналогии с соответствующими определениями эргодического стационарного случайного процесса.

В этом случае оценки спектральных плотностей и принятие аналога в качестве оценки S_y(ω) функции

(6.46)

не приводит к положительному результату, ввиду того что дисперсия σ²_H(ω) величины H(ω) не стремится к нулю при Т→∞. Верно приближенное равенство

(6.47)

при любом интервале [0, Т]. Следовательно, оценка (6.46) несостоятельна и не может быть рекомендована в качестве окончательной оценки S(ω). В то же время

(6.48)

т. е. H(ω), как оценка S(ω), асимптотически не смещено. Функция H(ω) называется выборочным спектром.

Окончательную оценку спектральной плотности находят путем сглаживания выборочного спектра. Формула сглаживания в общем случае имеет вид

, (6.49)

где функция W(v) называется спектральным окном. Выбор спектрального окна осуществляется таким образом, чтобы обеспечить состоятельность оценки .

С помощью уравнения свертки из (6.49) имеем

(6.50)

где функция w (τ)называется корреляционным окном (или весовой функцией) и является преобразованием Фурье спектрального окна W (ω)

. (6.51)

Сглаживание (6.49) в частотной области с помощью спектрального окна W (ω) эквивалентно умножению выборочной ковариационной функции на корреляционное окно w (τ)и последующему преобразованию Фурье по формуле (6.50).

Применяются различные корреляционные и спектральные окна.

Дата добавления: 2015-10-11 | Просмотры: 462 | Нарушение авторских прав