АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Интеграл Фурье

Реальные гидрометеорологические процессы, подвергаемые спектральному анализу, как правило, не являются периодическими функциями. В этом случае не может быть использовано их представление в виде рядов Фурье. Необходимо произвести обобщение анализа Фурье на случай непериодических сигналов.

Непериодическая функция может рассматриваться как предельный случай периодической функции с периодом, стремящимся к бесконечности. Соответствующий предельный переход должен произойти и в представлении функции рядом Фурье. При стремлении Т к бесконечности, частотный интервал 1/ T между соседними гармониками («линейками» спектра) уменьшается, становится бесконечно малым и спектральные линии сгущаются, преобразуясь в непрерывное распределение амплитуд по частоте.

Чтобы математически продемонстрировать эти «предельные» рассуждения, можно переписать (6.8) в виде

. (6.10)

В пределе, когда Т→∞, ω_k→ω, 2π/T→dω, TS_k/2π→S (ω), выражение (6.10) стремится к интегралу

. (6.11)

Аналогично помножив обе части в (6.9) TS_k/2π можно переписать в виде

, (6.12)

и далее, когда TS_k/2π→S (ω)

. (6.13)

Функция S (ω)называется непрерывным комплексным спектром Фурье, или преобразованием Фурье функции Y (t).

Физически преобразование (спектр) Фурье S (ω)представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т. е. является функцией плотности. Если Y измеряется в °С и t — всекундах, то размерность S (ω)есть «°С—секунда», или «°С на единицу частоты», т. к. ω имеет размерность частоты, т. е. с^-1.

В (6.11) для компактности записи использована комплексная экспонента, что требует как положительных, так и отрицательных значений аргумента. Физический смысл отрицательных частот состоит лишь в изменении фазы соответствующих спектральных составляющих на противоположные.

Для вещественных функций Y (t)действительная часть преобразования Фурье обладает свойством четности, а мнимая часть — нечетности. Поэтому достаточно рассмотреть спектр S (ω)только для положительных значений ω и распространить ее на отрицательные значения ω.

Функцию (6.11) и ее спектр (6.13) называют парой Фурье. Иногда эти соотношения записываются в виде S (ω)= F { Y (t)}— прямое преобразование Фурье, Y (t) =F^-1 { S (ω)} — обратное преобразование Фурье. Замечательным оказывается сходство (симметрия) функциональных операций прямого и обратного преобразования Фурье. В дальнейшем мы увидим, что симметрия прямого и обратного преобразования Фурье обеспечивает симметрию свойств.

Заключение:

1. Непериодический сигнал, определенный на интервале - ∞ < t < ∞, может быть взаимнооднозначно представлен непрерывным спектром Фурье, выражающим распределение интенсивности сигнала по частоте. Справедливо и обратное— функция, имеющая непрерывный спектр, непериодична.

2. Соотношения (6.11) и (6.13) позволяют перейти от функции к ее спектру и обратно с использованием математически эквивалентных преобразований. Вследствие этого спектр S (ω)имеет свойства, похожие на обращения соответствующих свойств Y (t)и обратно.

Дата добавления: 2015-10-11 | Просмотры: 486 | Нарушение авторских прав