АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Основные характеристики случайных процессов

Среднее значение случайного процесса по ансамблю или его математическое ожидание определяется как:

,

где – является функцией времени.

Разность между случайным процессом X(t) и его математическим ожиданием называется центрированным процессом:

.

Математическое ожидание квадрата центрированного процесса называется дисперсией случайного процесса X(t):

,

которая также является функцией времени.

Корреляционная функция K(t₁, t₂) определяется как математическое ожидание произведения двух сечений X₁ и X₂ центрированного случайного процесса (в моменты времени t₁ и t₂)

и определяет взаимосвязь (корреляцию) значений X₁ и X₂ одного случайного процесса X(t) в моменты времени t₁ и t₂. Поэтому эту функцию еще называют автокорреляционной. К_х(t₁, t₂) – функция двух моментов времени.

Взаимосвязь значений X₁ и X₂ двух случайных процессов X₁(t) и X₂(t) в моменты t₁ и t₂ определяется функцией взаимной корреляции:

.

Случайный процесс, у которого математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а функция корреляции зависит от разности t = t₂ – t₁, но не от самих значений t₁ и t₂ называется стационарным. Такие процессы, рассматриваемые на протяжении не слишком длительного времени, широко используются на практике в качестве математических моделей реальных сигналов и помех.

При экспериментальных исследованиях характеристики случайных процессов получают чаще всего усреднением не по ансамблю, а по времени. Оценка математического ожидания случайного процесса X(t) по его i-ой реализации X_i(t) длительностью Т:

.

Оценка корреляционной функции:

.

Характеристики и не зависят от времени, но являются случайными величинами, зависящими от i-ой реализации и длительности интервала Т наблюдения случайного процесса.

Стационарные случайные процессы, у которых средние по времени совпадают в пределе со средними по ансамблю, называют эргодическими. Эти процессы имеют важное практическое значение, т.к. наблюдение за большим числом реализаций случайного процесса можно заменить наблюдением за одной, но достаточно продолжительной реализацией.

Также как и для случая детерминированных сигналов на практике бывает полезно сделать переход из временной в частотную область. Однако применение преобразования Фурье для случайных процессов связано с определенными затруднениями. Чтобы их обойти необходимо отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз. Тогда возможно преобразование Фурье для случайных процессов и построение функций, характеризующих распределение энергии случайного процесса по оси частот. Такой функцией является спектральная плотность энергии случайного процесса. Что это такое? Для каждой реализации X(t) случайного процесса существует случайная спектральная плотность распределения

.

Каждая реализация этой плотности имеет энергию

,

где характеризует распределение энергии реализации случайного процесса по оси частот f. Это спектральная плотность энергии реализации.

Усредняя эту функцию по всем реализациям, получим спектральную плотность распределения энергии всего случайного процесса

.

Кривая, изображающая функцию спектральной плотности распределения энергии процесса, охватывает площадь, равную математическому ожиданию энергии случайного процесса.

Следует сказать, что знание рассмотренных средних характеристик сигнала X(t) как случайного процесса в общем случае еще не позволяет однозначно определить этот сигнал. В то же время, даже если знание этих средних не позволяет полностью описать сигнал на входе канала связи, их может быть достаточно для вычисления аналогичных средних параметров для выходного сигнала.

В заключении отметим, что спектральная плотность S(2pf) или S(w) связана с корреляционной функцией К(t) соотношением Хинчина-Винера

,

где w = 2pf.

Интегральная характеристика спектральной плотности случайного процесса – ширина спектра.

,

где D – дисперсия;

S_m – максимальное значение S(w).

Дата добавления: 2015-10-11 | Просмотры: 440 | Нарушение авторских прав