Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Прочитайте:

Задание 1.

Найти область определения функции .

Решение.

Функция существует на всей числовой оси , так как при любом значении функция имеет определенное вещественное значение. Точек разрыва нет, поэтому интервал непрерывности совпадает с областью определения функции .

Задание 3.

1. Найти производные функций указанного порядка:

а) , ;

б) , ,

Решение.

а) Применим правило дифференцирования суммы , тогда

При дифференцировании первого слагаемого используем формулу , где – константа. Получим:

Для второго слагаемого применим формулу . Тогда

Итак, в результате получим:

б) Замечая, что является сложной функцией , где , применим правило дифференцирования сложной функции . Получим:

Итак, в ответе получаем .

Найдем . Так как , то . Применим формулу для вычисления производной произведения: , полагая , а . Таким образом . Как и выше, заметим, что – сложная функция , где , поэтому , а так как , имеем:

Итак, .

Задание 4.

Найти .

Решение.

Пояснения к решению:

1) В числителе применили формулу сокращенного умножения .

2) Поделив почленно числитель на знаменатель, представили подынтегральную функцию в виде суммы более простых функций.

3) Применили свойства неопределенного интеграла: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции, а также вынесли постоянный множитель за знак интеграла.

4) Использовали таблицу основных интегралов.

2. Найти .

Решение.

В этом интеграле надо сделать замену переменных.

Пояснения к решению:

1) Делаем замену переменных . В прямых скобках показано, почему делается именно такая замена. В остальных строках приведены вспомогательные выкладки.

2) Снова делаем замену переменных, возвращаясь к прежней переменной .

4. Найти .

Решение.

В этом случае необходимо применить формулу интегрирования по частям .

Пояснения к решению:

1) Применили формулу интегрирования по частям. Это дало возможность понизить показатель степени степенной функции.

2) Еще раз применили формулу интегрирования по частям.

Задание 5.

Вычислим интеграл , используя метод замены переменно

Ответ: .

Задание 6.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим фигуру, площадь которой требуется найти (рис. 2).

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как , а вершина находится в точке , где

; .

Таким образом, .

Найдём точки пересечения параболы с осью :

; ;

;

Парабола пересекает ось абсцисс в точках и .

Для построения прямой, заданной уравнением , достаточно указать координаты двух её точек:

Найдём точку пересечения прямой и параболы. Для этого решим совместно систему уравнений:

Рис. 2

Итак, прямая пересекает параболу в точках и .Площадь заштрихованной фигуры найдём по формуле

где

, , , ,

так как прямая является верхней границей заштрихованной области, а парабола − нижней.

Итак,

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна кв. ед.

б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение. Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:

Выразим через в уравнениях заданных кривых:

, . Решая систему уравнений

получим пределы интегрирования и .

Тогда

Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , равен 0,47 куб. ед.

Задание 7.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя обе части, получим

Ответ:

Задача 8.

Группа студентов в течении недели осуществляет дежурство на 8 различных объектах. Сколькими способами можно составить расписание дежурств в субботу, если в этот день недели должно осуществляться дежурство только на 3 любых объектах?

Решение. Количество вариантов дежурств на объектах в субботу равно числу размещений из восьми элементов по три элемента. Находим = 8_*(8–1)_*(8–2) = 8_*7_*6 =336.

Ответ: Можно составить 336 различных вариантов дежурств на субботу на объектах.

Задача 9.

В полученной партии из 20 коробок лекарственных средств 5 коробок содержат брак. Для быстрого выяснения наличия брака в партии случайным образом вскрывают и обследуют 2 коробки. а) Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна браком. б) Найти вероятность этого же события, если обследовать 6 коробок.

Решение. Обозначим через А_i событие, состоящее в том, что i -ая извлеченная коробка окажется с браком; через А – хотя бы одна из коробок содержит брак. Тогда – ни одна из коробок не содержит брак.

а) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события , , т.е. = × . Тогда по теореме умножения вероятностей [P(A×B)=P(A)×P(B | A)] получим

P()=P( × )=P()×P( | )= =0,553,

где – вероятность того, что в первой коробке не будет брака; – того, что во второй тоже не будет брака при условии, что в первой его не было. Итак

P(А)=1-P()=1–0,553=0,447,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 45% случаев.

б) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события , ,..., т.е. = × ×...× . Тогда по теореме умножения вероятностей [P(A×B)=P(A)×P(B|A)] получим

P()=P( × ×...× )=P()×P( | )×...×P( | ×...× )= = × × × =0,129.

Итак, P(А)=1-P()=1–0,129=0,871,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 87% случаев.

Ответ: а) 0,447; б) 0,871.

Задача 10.

На следующий год в местности Х прогнозируют две вспышки гриппа. Причем в весенней вспышке заболевают 5%, а в осенне-зимней – 10% людей данной возрастной группы. Считая, что эти вспышки вызываются различными возбудителями (т.е. заболевания в эти периоды независимы) оценить вероятность того, что случайно взятый человек в следующем году переболеет гриппом хотя бы 1 раз.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно взятый человек заболеет гриппом весной, через В –осенью, через С – переболеет гриппом хотя бы 1 раз. Тогда С=А+В. По теореме [P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)] о вероятности суммы двух событий и по теореме [P(AB)= P(A)×P(B)] о вероятности произведения двух независимых событий получим:

P(С)=P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A)×P(B)=

=0,05+0,10-0,05×0,10=0,145,

т.е. 14,5% людей переболеют в этом году гриппом хотя бы 1 раз.

Ответ: 0,145.

Задача 11.

Молодожёны планируют, что у них будет 3 дочки и 2 сына. Считая, что у них действительно будет 5 детей найти шанс осуществления их желания, если вероятность рождения девочки 49%.

Решение.

Обозначим через А событие (успех), состоящее в том, что при данной беременности родится девочка. Тогда супружеская пара проводит 5 независимых «испытаний». Нас интересует событие, состоящее в наступлении ровно трёх успехов, и двух неуспехов. Воспользуемся формулой Бернулли наступления ровно m успехов в серии из n испытаний:

где p вероятность успеха в одном испытании. Итак, вероятность искомого события:

= 0,30601

Ответ: вероятность этого события 30%.

Задача 12.

Вероятность заболевания гепатитом для жителя некоторой области в определённый период года составляет 5×10^-4. Найти вероятность того, что среди 10000 обследованных жителей ровно 5 окажутся заболевшими.

Решение.

Вероятность успеха в одном испытании очень мала (р =0,0005), а количество испытаний велико (n =10000). Поэтому воспользоваться формулой Бернулли для вычисления вероятности наступления ровно m =5 успехов сложно с точки зрения громоздкости вычислений. Воспользуемся асимптотической формулой Пуассона

, где m= p×n.

Тогда m=0,0005×10000=5. И искомая вероятность равна

0,17547

Ответ: в 18% таких групп жителей будет ровно по 5 заболевших.

Задание 13.

Имеются 3 конверта. В первом конверте 25 контрольных работ по информатике; во втором – 10 контрольных работ по информатике и 5 контрольных работ по математике; в третьем – 15 контрольных работ по математике. Из выбранного наугад конверта вынули контрольную работу по информатике. Найти вероятность того, что контрольная работа взята из первого конверта (событие A).

Решение.

Из условия задачи, имеем: – событие, выбор первого конверта; – событие, выбор второго конверта; – событие, выбор третьего конверта.Так как выбор каждого конверта равновероятен, то имеем:

Соответственно вероятность выбора контрольных работ из первого, второго, третьего конвертов равна: .

Тогда вероятность выбора контрольных работ из первого конверта равна:

Ответ: вероятность выбора контрольной работы из первого конверта, равна 0,6.

Задание 14.

У 10 человек продолжительность инкубационного периода вирусного гепатита составила: 16, 20, 21, 15, 33, 39, 24, 24, 33, 39.

Требуется составить статистическое распределение и определить:

– математическое ожидание,

–дисперсию,

–среднеквадратическое отклонение.

Решение.

Составим статистическое распределение:

x_i
n_i

1. Найдем математическое ожидание по формуле:

2. Найдем дисперсию СВ по формуле:

3. Найдем среднеквадратическое отклонение СВ по формуле:

Задание 15.

Налоговый инспектор, изучая зависимость выработки (ус.ед.) на одного работника от величины товарооборота магазина (ус.ед.) за отчётный период обследовал десять магазинов и получил следующие данные.

Полагая, что между признаками и имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной корреляции. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между и . Используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить (ус. ед.)