Аксиоматика Колмогорова
Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:
а) , ;
б) А А А ;
в) А А
Определение. Пусть А - алгебра подмножества множества . Функция : А где , называется конечно аддитивной мерой на А , если А выполняется
Конечно аддитивная мера называется конечной, если . Конечная мера называется вероятностной, если .
Определение. Тройка А , Р), где - некоторое множество, А - алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А , называется вероятностной моделью в широком смысле.
Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.
Определение. Система F - подмножеств множества называется алгеброй, если:
1) она является алгеброй,
2) , для то и .
Определение. с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (, F).
Определение. Конечно аддитивная мера задана на А называется счетно аддитивной ( аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А1, А2, … из А таких, что А, следует, что
Счетно аддитивная мера на F называется конечной, если можно представить в виде где А с
Счетно аддитивная мера Р на алгебре А , удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А .
Приведем некоторые свойства вероятностных мер:
1)
2) если А Р Р Р Р .
3) если А и Р Р .
4) Если А n=1,2,.. и А Р . Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно. Доказательство свойства 4. Заметим, что , где при и , .Очевидно, что при и так как , то имеем .
Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?
Теорема 1. Пусть P - конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1. Тогда следующее утверждения эквивалентны:
1) P - аддитивна;
2) Р – непрерывна сверху (то есть, если =1,2,…,где А ,
такие что и А , то ;
3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А , =1,2,… и А , то ;
4) Р – непрерывна в нуле (если А , =1,2,…, и Ø, то .
Определение. Тройка (, F, Р) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества – событиями, где F - алгебра на , а Р (А) – вероятностью события А.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 778 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|